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Chapitre XI. Appendice
Montrons encore que
(2)
I
˜
Gv (γ
v , ω, f v ) = I
˜
Gv (γ v , ω, f v ) = .1
Pour cela on utilise le fait démontré en [79],lemme 5.6 (ii) que
I
˜
Gv (γ
v , ω, 1 ˜
Kv ) = I
˜
Gv (γ v , ω, 1 ˜
Kv ) = 1.
Pour montrer (2), il suffit donc de montrer que si x ∈ G(F v ) vérifie x
−1 γ
v x ∈
A ˜
G (F v ) ˜
K v alors x
−1 γ
v x ∈ ˜
K v (et le même argument va s’appliquer avec γ v ) : on
fixe ˜
H : ˜
G(F v ) → A ˜
G de façon compatible à l’application analogue pour G(F v ) et
tel que ˜
H( ˜
K v ) = 0. Alors :
0 = ˜
H(γ
v ) = ˜
H(x
−1 γ
v x) = ˜
H(ak),
si on a écrit x
−1 γ
v x = ak avec a ∈ A ˜
G (F v ) et k ∈ ˜
K v . Ainsi ˜
H(a) = 0 et
a ∈ A ˜
G (O v ) ⊂ K v . D’où l’assertion.
Donc pour tout v ∈ V , on a aussi
(3)
I
˜
Gv (γ
, ω, f v ) = δ(γ
v )I
˜
Gv (γ
v , ω, f v ) = δ v (γ
)I
˜
Gv (γ v , ω, f v ).
Il reste la place v 0 ; on sait que γ
et γ sont localement conjugués en toute place
de V − {v 0 } et qu’il sont conjugués d’un élément de ˜
K ,v pour tout v /
∈ V . Les
hypothèses du lemme 4 de [47] sont satisfaites (on a fait ce qu’il fallait pour cela) et
ce lemme montre alors que γ
,v0 est conjugué de γ ,v0 par un élément de G (F v0 ).
Comme H
1 (Γ Fv 0 , A ˜
G ( ¯
F v0 )) = 0 car A ˜
G est un tore déployé sur F v0 , l’application
de G(F v0 ) dans G (F v0 ) est surjective. Ainsi il existe encore a 0 ∈ A ˜
G (F v0 ) et
g 0 ∈ G(F v0 ) tel que γ
= a 0 g
−1
0 γg 0 . D’où l’égalité de (1) aussi en la place v 0 . En
regroupant avec (3), on obtient :
I(γ
, ω, f
v0 f 0 ) =
v
I
˜
Gv (γ
, ω, f v ) =
v
δ v (γ
)I
˜
Gv (γ, ω, f v )
= I
˜
G (γ, ω, f 0 ⊗ f
v0 )
v
δ v (γ
).
Comme δ est automorphe et γ
rationnel,
v δ v (γ
) = 1 et on l’égalité ci-dessus
donne
I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = I
˜
G (γ, ω, f 0 ⊗ f
v0 ),
si l’intégrale de gauche est non nulle, comme annoncé. Cela termine la preuve.