XI.8. Approximation
1295
γ
v
∈ H
1,0 (Γ Fv , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) sa classe de G SC (F v )-conjugaison. On note φ v
l’application (cf. XI.7.1 (2))
G ab (F v ) H
1,0 (Γ Fv , T sc
π
→ T ) → H
1,0 (Γ Fv T sc
(1−θ)◦π
→ U ),
et ψ v l’application (cf. XI.7.1 (1))
A ˜
G (F v ) H
0 (Γ Fv , A ˜
G ) → H
1,0 (Γ Fv T sc
(1−θ)◦π
→ U ).
On va aussi utiliser l’élément δ ∈ H
1,0 (W F , ˆ
U
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ) et on le suppose non ramifié
hors de V , c’est-à-dire que pour tout v /
∈ V la restriction de δ v à H
1,0 (O
nr
v , ˆ
U
1− ˆ
θ
→
ˆ
T ad ) est triviale.
On impose la condition que I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = 0 ; par la condition sur f v
pour tout v ∈ V − {v 0 }, on sait que γ
est conjugué de γ sous A ˜
G (F v ) × G(F v ).
Donc il existe g v ∈ G ab (F v ) et a v ∈ A ˜
G (F v ) tel que γ
v
= φ v (g v )ψ v (a v )γ v . Par
choix de point de base, δ v (γ v ) = 1. D’où γ
v
= φ v (g v )ψ v (a v ). Par définition
(1)
I
˜
Gv (γ
, ω, f v ) = ω v (g v )μ v (a v )I
˜
Gv (γ, ω, f v ) = δ(γ
v )I
˜
Gv (γ, ω, f v ).
Soit v /
∈ V . La non nullité de l’intégrale orbitale globale entraîne qu’il existe
dans l’orbite de γ
v sous A ˜
G (F v ) × G(F v ) un élément, γ
v dans ˜
K v et on écrit ici
γ
= a v g
−1
v γ
v g v . On a choisi V de telle sorte que γ v est dans ˜
K v . On introduit
comme on l’a déjà fait les groupes et les espaces obtenus en quotientant par le tore
A ˜
G et on note avec un le quotient. En particulier on a l’espace tordu ˜
G = ˜
G/A ˜
G
et on note γ
v,, et γ les images de γ
v et γ dans ˜
G (F v ).
Hors de V , K v et K v,, sont associés à des schémas en groupes sur l’anneau
des entiers O v . On définit donc K v (O
nr
v ) et K v,, (O
nr
v ). On définit aussi A ˜
G (O
nr
v ).
Montrons qu’il existe k ∈ K v (O
nr
v ) et a ∈ A ˜
G (O
nr
v ) tel que γ
v = ak
−1 γk.
Après quotient par A ˜
G , c’est-à-dire dans ˜
G ,v , c’est le lemme 5 de [47], c’està-dire qu’il existe h ∈ K ,v (O
nr
v ) tel que
γ
,v = h
−1 γ h.
On vérifie que la suite :
1 → A ˜
G (O
nr
v ) → K v (O
nr
v ) → K ,v (O
nr
v ) → 1
est exacte et on relève h en un élément k ∈ K v (O
nr
v ). Alors il existe a ∈ A ˜
G (F )
tel que γ
v = ak
−1 γk. D’où nécessairement a ∈ A ˜
G (F v ) ∩ K v (O
nr
v ) = A ˜
G (O
nr
v ).
D’où l’assertion.
Ainsi δ v (γ
v ) = 1 puisque par hypothèse δ est non ramifié hors de v et :
I
˜
Gv (γ
, ω, f v ) = ω v (g v )μ v (a v )I
˜
Gv (γ
v , ω, f v ) = δ(γ
v )I
˜
Gv (γ
v , ω, f v ).
1295
γ
v
∈ H
1,0 (Γ Fv , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) sa classe de G SC (F v )-conjugaison. On note φ v
l’application (cf. XI.7.1 (2))
G ab (F v ) H
1,0 (Γ Fv , T sc
π
→ T ) → H
1,0 (Γ Fv T sc
(1−θ)◦π
→ U ),
et ψ v l’application (cf. XI.7.1 (1))
A ˜
G (F v ) H
0 (Γ Fv , A ˜
G ) → H
1,0 (Γ Fv T sc
(1−θ)◦π
→ U ).
On va aussi utiliser l’élément δ ∈ H
1,0 (W F , ˆ
U
1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad ) et on le suppose non ramifié
hors de V , c’est-à-dire que pour tout v /
∈ V la restriction de δ v à H
1,0 (O
nr
v , ˆ
U
1− ˆ
θ
→
ˆ
T ad ) est triviale.
On impose la condition que I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = 0 ; par la condition sur f v
pour tout v ∈ V − {v 0 }, on sait que γ
est conjugué de γ sous A ˜
G (F v ) × G(F v ).
Donc il existe g v ∈ G ab (F v ) et a v ∈ A ˜
G (F v ) tel que γ
v
= φ v (g v )ψ v (a v )γ v . Par
choix de point de base, δ v (γ v ) = 1. D’où γ
v
= φ v (g v )ψ v (a v ). Par définition
(1)
I
˜
Gv (γ
, ω, f v ) = ω v (g v )μ v (a v )I
˜
Gv (γ, ω, f v ) = δ(γ
v )I
˜
Gv (γ, ω, f v ).
Soit v /
∈ V . La non nullité de l’intégrale orbitale globale entraîne qu’il existe
dans l’orbite de γ
v sous A ˜
G (F v ) × G(F v ) un élément, γ
v dans ˜
K v et on écrit ici
γ
= a v g
−1
v γ
v g v . On a choisi V de telle sorte que γ v est dans ˜
K v . On introduit
comme on l’a déjà fait les groupes et les espaces obtenus en quotientant par le tore
A ˜
G et on note avec un le quotient. En particulier on a l’espace tordu ˜
G = ˜
G/A ˜
G
et on note γ
v,, et γ les images de γ
v et γ dans ˜
G (F v ).
Hors de V , K v et K v,, sont associés à des schémas en groupes sur l’anneau
des entiers O v . On définit donc K v (O
nr
v ) et K v,, (O
nr
v ). On définit aussi A ˜
G (O
nr
v ).
Montrons qu’il existe k ∈ K v (O
nr
v ) et a ∈ A ˜
G (O
nr
v ) tel que γ
v = ak
−1 γk.
Après quotient par A ˜
G , c’est-à-dire dans ˜
G ,v , c’est le lemme 5 de [47], c’està-dire qu’il existe h ∈ K ,v (O
nr
v ) tel que
γ
,v = h
−1 γ h.
On vérifie que la suite :
1 → A ˜
G (O
nr
v ) → K v (O
nr
v ) → K ,v (O
nr
v ) → 1
est exacte et on relève h en un élément k ∈ K v (O
nr
v ). Alors il existe a ∈ A ˜
G (F )
tel que γ
v = ak
−1 γk. D’où nécessairement a ∈ A ˜
G (F v ) ∩ K v (O
nr
v ) = A ˜
G (O
nr
v ).
D’où l’assertion.
Ainsi δ v (γ
v ) = 1 puisque par hypothèse δ est non ramifié hors de v et :
I
˜
Gv (γ
, ω, f v ) = ω v (g v )μ v (a v )I
˜
Gv (γ
v , ω, f v ) = δ(γ
v )I
˜
Gv (γ
v , ω, f v ).