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Chapitre XI. Appendice
XI.8.4 Début de la preuve du théorème
On fixe toutes les données comme dans le paragraphe précédent. On fixe aussi
un ensemble de places V de F , contenant v 0 , u 1 , u 2 , V ram , tel que ω, μ soient non
ramifiés hors de V et que γ v ∈ ˜
K v pour tout v /
∈ V . On demande aussi que V soit
suffisamment grand pour que le lemme 5 de [47] soit applicable.
On définit les fonctions f
v0 de XI.8.1 : pour v /
∈ V , on prend une fonction
à support dans A ˜
G (F v ) ˜
K v invariante sous K v et se transformant par μ v sous
A ˜
G (F v ). Pour tout v ∈ V , v = v 0 , on fixe f v ∈ I μv ( ˜
G v , ω v ) (cf XI.8.1 pour les
notations) telle que I
˜
Gv (γ v , ω v , f v ) = 1 et I
˜
Gv (γ
v , ω v , f v ) = 0 pour tout γ
v ∈ X γv
qui n’est pas dans la A ˜
G (F v ) × G(F v ) orbite de γ v . Cela existe parce que l’on a
une compatibilité entre μ v et ω v (XI.7.1). Puisque γ ui pour i = 1, 2 est elliptique
et fortement régulier modulo A ˜
G (F ui ), en ces places on prend f ui cuspidale et à
support dans les éléments fortement réguliers modulo A ˜
G (F ui ).
On pose f
v0 := ⊗ v =v0 f v et on applique l’hypothèse de l’énoncé de XI.8.1 :
I
˜
G
geo,μ (ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = 0. C’est une somme finie d’intégrales orbitales en des points
γ
∈ ˜
G(F ) avec des coefficients positifs. On restreint encore le support de f u1 de
façon à ne laisser subsister que les γ
qui en la place u 1 sont dans X γu 1 . Ecrire que
γ
est dans l’orbite de γ sous l’action de A ˜
G (F )×G(F ) revient à dire qu’un système
d’équations algébriques a une solution dans F ; or on sait que ce système a une
solution dans F u1 si γ
intervient de façon non triviale dans la somme et il a donc
bien aussi une solution dans F . Notons Ξ l’ensemble des orbites de A ˜
G (F ) × G(F )
dans X γ et on fixe un représentant γ
dans chacune de ces orbites. On vient de
montrer qu’en choississant convenablement f u1 , on a
I
˜
G
geo,μ (ω, f 0 ⊗ f
v0 ) =
γ ∈Ξ
c(γ
)I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ),
où les c(γ
) ≥ 0 avec uniquement un nombre fini de coefficients non nuls. Il reste
à montrer le lemme suivant :
Lemme. Pour tout γ
∈ Ξ tel que I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = 0
I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = I
˜
G (γ, ω, f 0 ⊗ f
v0 ),
ou encore que
I
˜
G
geo,μ (ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = I
˜
G (γ, ω, f 0 ⊗ f
v0 )
γ ∈Ξ;I
˜
G (γ ,ω,f0⊗f v 0 ) =0
c(γ
)
.
Il est alors clair que ce lemme termine la démonstration.
XI.8.5 Preuve du lemme
Soit γ
∈ Ξ ; on lui associe un élément de H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) comme cela
a été fait en XI.7.2. L’élément γ
se localise en toute place v en γ
v ; on note
Chapitre XI. Appendice
XI.8.4 Début de la preuve du théorème
On fixe toutes les données comme dans le paragraphe précédent. On fixe aussi
un ensemble de places V de F , contenant v 0 , u 1 , u 2 , V ram , tel que ω, μ soient non
ramifiés hors de V et que γ v ∈ ˜
K v pour tout v /
∈ V . On demande aussi que V soit
suffisamment grand pour que le lemme 5 de [47] soit applicable.
On définit les fonctions f
v0 de XI.8.1 : pour v /
∈ V , on prend une fonction
à support dans A ˜
G (F v ) ˜
K v invariante sous K v et se transformant par μ v sous
A ˜
G (F v ). Pour tout v ∈ V , v = v 0 , on fixe f v ∈ I μv ( ˜
G v , ω v ) (cf XI.8.1 pour les
notations) telle que I
˜
Gv (γ v , ω v , f v ) = 1 et I
˜
Gv (γ
v , ω v , f v ) = 0 pour tout γ
v ∈ X γv
qui n’est pas dans la A ˜
G (F v ) × G(F v ) orbite de γ v . Cela existe parce que l’on a
une compatibilité entre μ v et ω v (XI.7.1). Puisque γ ui pour i = 1, 2 est elliptique
et fortement régulier modulo A ˜
G (F ui ), en ces places on prend f ui cuspidale et à
support dans les éléments fortement réguliers modulo A ˜
G (F ui ).
On pose f
v0 := ⊗ v =v0 f v et on applique l’hypothèse de l’énoncé de XI.8.1 :
I
˜
G
geo,μ (ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = 0. C’est une somme finie d’intégrales orbitales en des points
γ
∈ ˜
G(F ) avec des coefficients positifs. On restreint encore le support de f u1 de
façon à ne laisser subsister que les γ
qui en la place u 1 sont dans X γu 1 . Ecrire que
γ
est dans l’orbite de γ sous l’action de A ˜
G (F )×G(F ) revient à dire qu’un système
d’équations algébriques a une solution dans F ; or on sait que ce système a une
solution dans F u1 si γ
intervient de façon non triviale dans la somme et il a donc
bien aussi une solution dans F . Notons Ξ l’ensemble des orbites de A ˜
G (F ) × G(F )
dans X γ et on fixe un représentant γ
dans chacune de ces orbites. On vient de
montrer qu’en choississant convenablement f u1 , on a
I
˜
G
geo,μ (ω, f 0 ⊗ f
v0 ) =
γ ∈Ξ
c(γ
)I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ),
où les c(γ
) ≥ 0 avec uniquement un nombre fini de coefficients non nuls. Il reste
à montrer le lemme suivant :
Lemme. Pour tout γ
∈ Ξ tel que I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = 0
I
˜
G (γ
, ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = I
˜
G (γ, ω, f 0 ⊗ f
v0 ),
ou encore que
I
˜
G
geo,μ (ω, f 0 ⊗ f
v0 ) = I
˜
G (γ, ω, f 0 ⊗ f
v0 )
γ ∈Ξ;I
˜
G (γ ,ω,f0⊗f v 0 ) =0
c(γ
)
.
Il est alors clair que ce lemme termine la démonstration.
XI.8.5 Preuve du lemme
Soit γ
∈ Ξ ; on lui associe un élément de H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) comme cela
a été fait en XI.7.2. L’élément γ
se localise en toute place v en γ
v ; on note