XI.8. Approximation
1293
ω 0 × μ
−1
0
de G 0,ab (F 0 ) × A ˜
G (F 0 ). D’après [48] A3, le groupe des caractères de
H
1,0 (Γ F0 , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) est le quotient de H
1,0 (Γ F0 , ˆ
U
(1− ˆ
θ)
→ ˆ
T ad ) par l’image de
ˆ
T
ΓF 0 ,0
ad
. On fixe δ 0 ∈ H
1,0 (Γ F0 , ˆ
U
(1− ˆ
θ)
→ ˆ
T ad ) qui s’envoie sur δ
0 .
XI.8.3 Globalisation fine
Il faut encore montrer que quitte à remplacer F par une extension galoisienne
sans modifier γ, ˜
T , le caractère δ 0 du paragraphe précédent est la localisation d’un
analogue global. Il faut avoir les hypothèses de XI.7.1 ci-dessus.
On note T := T /A ˜
G et on note encore θ l’action de θ sur T . Comme le
groupe H
1 (Γ F0 , X
∗ (T
θ
)) est fini, on fixe E 0 une extension galoisienne de F 0 telle
que T soit déployé sur E 0 . On a une application naturelle :
(1)
H
1 (Gal(E 0 /F 0 ), X
∗ (T
θ
)) → H
1 (Γ F0 , X
∗ (T
θ
))
qui, par finitude, est surjective si E 0 est suffisamment grande. On fixe E 0 tel que
(1) soit surjective et tel que E 0 soit adapté à δ 0 (cf XI.7.1). Cela ne sert que pour
pouvoir utiliser le lemme 4 de [47] qui est un lemme clé pour ce que nous faisons.
On va maintenant définir E quitte à étendre F : on commence par remplacer
F par une extension galoisienne totalement déployée en v 0 et n’ayant que des
places archimédiennes complexes. L’existence d’une telle extension est bien connue
et rappelée en [X] 3.6. Ensuite on fixe une extension galoisienne E de F tel que T se
déploie sur E et il existe une place v
0 de E au dessus de v 0 tel que E v
0
contienne E 0 .
On remplace alors F par le corps des points fixes du fixateur de v
0 dans Gal(E/F )
et on remplace alors v 0 par la restriction de v
0 à F . Cela nous ramène au cas où
E n’a qu’une place au dessus de v 0 que l’on note v 0 . On va encore démultiplier
v 0 en au moins trois places : en tensorisant F et E par une extension de degré
supérieure ou égale à trois, totalement décomposée en la place v 0 , on fixe, v 0 et u i
pour i = 1, 2 telles qu’en ces trois places on retrouve la situation locale de départ.
On remarque (ce qui est aussi une hypothèse pour pouvoir utiliser [47]) qu’avec
ces constructions l’application de localisation de Gal(E/F ) dans Gal(E 0 /F 0 ) est
un isomorphisme.
On applique le lemme de XI.7.1 : on fixe un élément
δ ∈ H
1,0 (W F , ˆ
U
(1− ˆ
θ)
→ ˆ
T ad )
qui se localise en δ 0 en la place v 0 . On a maintenant construit ω et μ des globalisations de ω 0 et μ 0 : il suffit de restreindre δ à G ab (A F ) × A ˜
G (A F ) suivant les
applications décrites en XI.7.2 (1) et (2). Et ω, μ sont des caractères automorphes
par la théorie du corps de classe. On rappelle qu’en toute place v, δ v vérifie la
dernière remarque de XI.7.1, c’est-à-dire qu’il y a des fonctions non triviales sur
X γv et que ces fonctions séparent les orbites sous A ˜
G (F v ) × G(F v ).
1293
ω 0 × μ
−1
0
de G 0,ab (F 0 ) × A ˜
G (F 0 ). D’après [48] A3, le groupe des caractères de
H
1,0 (Γ F0 , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) est le quotient de H
1,0 (Γ F0 , ˆ
U
(1− ˆ
θ)
→ ˆ
T ad ) par l’image de
ˆ
T
ΓF 0 ,0
ad
. On fixe δ 0 ∈ H
1,0 (Γ F0 , ˆ
U
(1− ˆ
θ)
→ ˆ
T ad ) qui s’envoie sur δ
0 .
XI.8.3 Globalisation fine
Il faut encore montrer que quitte à remplacer F par une extension galoisienne
sans modifier γ, ˜
T , le caractère δ 0 du paragraphe précédent est la localisation d’un
analogue global. Il faut avoir les hypothèses de XI.7.1 ci-dessus.
On note T := T /A ˜
G et on note encore θ l’action de θ sur T . Comme le
groupe H
1 (Γ F0 , X
∗ (T
θ
)) est fini, on fixe E 0 une extension galoisienne de F 0 telle
que T soit déployé sur E 0 . On a une application naturelle :
(1)
H
1 (Gal(E 0 /F 0 ), X
∗ (T
θ
)) → H
1 (Γ F0 , X
∗ (T
θ
))
qui, par finitude, est surjective si E 0 est suffisamment grande. On fixe E 0 tel que
(1) soit surjective et tel que E 0 soit adapté à δ 0 (cf XI.7.1). Cela ne sert que pour
pouvoir utiliser le lemme 4 de [47] qui est un lemme clé pour ce que nous faisons.
On va maintenant définir E quitte à étendre F : on commence par remplacer
F par une extension galoisienne totalement déployée en v 0 et n’ayant que des
places archimédiennes complexes. L’existence d’une telle extension est bien connue
et rappelée en [X] 3.6. Ensuite on fixe une extension galoisienne E de F tel que T se
déploie sur E et il existe une place v
0 de E au dessus de v 0 tel que E v
0
contienne E 0 .
On remplace alors F par le corps des points fixes du fixateur de v
0 dans Gal(E/F )
et on remplace alors v 0 par la restriction de v
0 à F . Cela nous ramène au cas où
E n’a qu’une place au dessus de v 0 que l’on note v 0 . On va encore démultiplier
v 0 en au moins trois places : en tensorisant F et E par une extension de degré
supérieure ou égale à trois, totalement décomposée en la place v 0 , on fixe, v 0 et u i
pour i = 1, 2 telles qu’en ces trois places on retrouve la situation locale de départ.
On remarque (ce qui est aussi une hypothèse pour pouvoir utiliser [47]) qu’avec
ces constructions l’application de localisation de Gal(E/F ) dans Gal(E 0 /F 0 ) est
un isomorphisme.
On applique le lemme de XI.7.1 : on fixe un élément
δ ∈ H
1,0 (W F , ˆ
U
(1− ˆ
θ)
→ ˆ
T ad )
qui se localise en δ 0 en la place v 0 . On a maintenant construit ω et μ des globalisations de ω 0 et μ 0 : il suffit de restreindre δ à G ab (A F ) × A ˜
G (A F ) suivant les
applications décrites en XI.7.2 (1) et (2). Et ω, μ sont des caractères automorphes
par la théorie du corps de classe. On rappelle qu’en toute place v, δ v vérifie la
dernière remarque de XI.7.1, c’est-à-dire qu’il y a des fonctions non triviales sur
X γv et que ces fonctions séparent les orbites sous A ˜
G (F v ) × G(F v ).