1292
Chapitre XI. Appendice
On fixe un tel γ et on s’autorise encore des extensions galoisiennes de F et on
peut encore jouer sur le choix de f
v0 . A partir de là, les démonstrations deviennent
de plus en plus compliqués quand on passe du cas non tordu de [13], au cas tordu
mais sans caractère de [47] puis au cas traité ici.
On peut toujours réduire le support de f
v0 de façon à ce que du côté gauche
de (1) il n’y ait que des éléments γ
dont les composantes locales hormis éventuellement en la place v 0 , sont soient conjugués des composantes locales de γ soit sont
des éléments de ˜
K v .
Alors [47] (et on reviendra ici sur les hypothèses qu’il faut pour appliquer ce
résultat) montre que pour de tels γ
, la conjugaison locale vaut aussi en la place
v 0 . A partir de là les arguments différent.
Dans le cas non tordu, on peut s’arranger pour qu’il n’y ait qu’une classe
de conjugaison, celle de γ du côté gauche et il est alors facile de conclure. Dans
le cas tordu où ω = 1 traité par [47], on garde (en général) plusieurs intégrales
orbitales du côté gauche de (1) mais elles sont toutes égales ; chacune est affectée
d’un coefficient positif et la nullité de la somme permet de conclure.
Dans le cas qui nous concerne, la difficulté supplémentaire vient du fait que
les ω intégrales orbitales locales a priori dépendent du choix de l’élément qui sert de
point de base. Donc même si γ et γ
sont des éléments rationnels dans ˜
G(F ) dont
toutes les composantes locales sont soit conjuguées soit dans ˜
K v , les ω intégrales
orbitales n’ont pas de raison d’être les mêmes. Il faut donc le démontrer, au moins
pour des bons choix.
XI.8.2 Rappel des globalisations
Pour démontrer le théorème, il faut évidemment des globalisations avec des propriétés fines. On rappelle que d’après [47], on peut globaliser F 0 , G 0 , ˜
G 0 de sorte
que ˜
G(F ) est dense dans ˜
G 0 (F 0 ) (par localisation en une place fixée v 0 ) et tel
que A ˜
G = A ˜
G0 , c’est-à-dire que Z(G)
θ n’est pas plus déployé en la place v 0 que
globalement. On note ˜
G(F ) ∗ l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) dont l’image dans
( ˜
G/A ˜
G )(F ) est fortement régulier. Cet ensemble est encore dense par localisation
dans ˜
G 0 (F 0 ). Il faut donc prouver que I
˜
G0 (ω 0 , γ 0 , f 0 ) = 0 pour tout γ 0 composante locale d’un élément de ˜
G(F ) ∗ . On fixe donc γ ∈ ˜
G(F ) ∗ et on note γ 0 sa
composante locale en v 0 . On note ˜
T le tore tordu de ˜
G tel que ˜
T (F ) contienne γ.
Si ˜
T n’est pas elliptique en la place v 0 , la composante de γ en cette place n’est
pas elliptique et I(ω 0 , γ 0 , f 0 ) = 0 par cuspidalité de f 0 . On suppose donc que ˜
T
est elliptique en v 0 et ˜
T est alors elliptique puisque A ˜
G = A ˜
G0 .
En XI.7.2, on a défini X γ0 comme sous-ensemble de ˜
G(F 0 ). La fonction γ
∈
X γ0 → I(ω 0 , γ
, f 0 ) est une fonction sur X γ0 , ω 0 × μ 0 -invariante pour l’action de
G(F 0 ) × A ˜
G (F 0 ). Il n’y a rien à démontrer si cette application est identiquement
nulle ; on suppose qu’il n’en est pas ainsi et conformément à la remarque de XI.7.2
on fixe un caractère, δ
0 , de H
1,0 (Γ F0 , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) qui se restreint en le caractère
Chapitre XI. Appendice
On fixe un tel γ et on s’autorise encore des extensions galoisiennes de F et on
peut encore jouer sur le choix de f
v0 . A partir de là, les démonstrations deviennent
de plus en plus compliqués quand on passe du cas non tordu de [13], au cas tordu
mais sans caractère de [47] puis au cas traité ici.
On peut toujours réduire le support de f
v0 de façon à ce que du côté gauche
de (1) il n’y ait que des éléments γ
dont les composantes locales hormis éventuellement en la place v 0 , sont soient conjugués des composantes locales de γ soit sont
des éléments de ˜
K v .
Alors [47] (et on reviendra ici sur les hypothèses qu’il faut pour appliquer ce
résultat) montre que pour de tels γ
, la conjugaison locale vaut aussi en la place
v 0 . A partir de là les arguments différent.
Dans le cas non tordu, on peut s’arranger pour qu’il n’y ait qu’une classe
de conjugaison, celle de γ du côté gauche et il est alors facile de conclure. Dans
le cas tordu où ω = 1 traité par [47], on garde (en général) plusieurs intégrales
orbitales du côté gauche de (1) mais elles sont toutes égales ; chacune est affectée
d’un coefficient positif et la nullité de la somme permet de conclure.
Dans le cas qui nous concerne, la difficulté supplémentaire vient du fait que
les ω intégrales orbitales locales a priori dépendent du choix de l’élément qui sert de
point de base. Donc même si γ et γ
sont des éléments rationnels dans ˜
G(F ) dont
toutes les composantes locales sont soit conjuguées soit dans ˜
K v , les ω intégrales
orbitales n’ont pas de raison d’être les mêmes. Il faut donc le démontrer, au moins
pour des bons choix.
XI.8.2 Rappel des globalisations
Pour démontrer le théorème, il faut évidemment des globalisations avec des propriétés fines. On rappelle que d’après [47], on peut globaliser F 0 , G 0 , ˜
G 0 de sorte
que ˜
G(F ) est dense dans ˜
G 0 (F 0 ) (par localisation en une place fixée v 0 ) et tel
que A ˜
G = A ˜
G0 , c’est-à-dire que Z(G)
θ n’est pas plus déployé en la place v 0 que
globalement. On note ˜
G(F ) ∗ l’ensemble des éléments de ˜
G(F ) dont l’image dans
( ˜
G/A ˜
G )(F ) est fortement régulier. Cet ensemble est encore dense par localisation
dans ˜
G 0 (F 0 ). Il faut donc prouver que I
˜
G0 (ω 0 , γ 0 , f 0 ) = 0 pour tout γ 0 composante locale d’un élément de ˜
G(F ) ∗ . On fixe donc γ ∈ ˜
G(F ) ∗ et on note γ 0 sa
composante locale en v 0 . On note ˜
T le tore tordu de ˜
G tel que ˜
T (F ) contienne γ.
Si ˜
T n’est pas elliptique en la place v 0 , la composante de γ en cette place n’est
pas elliptique et I(ω 0 , γ 0 , f 0 ) = 0 par cuspidalité de f 0 . On suppose donc que ˜
T
est elliptique en v 0 et ˜
T est alors elliptique puisque A ˜
G = A ˜
G0 .
En XI.7.2, on a défini X γ0 comme sous-ensemble de ˜
G(F 0 ). La fonction γ
∈
X γ0 → I(ω 0 , γ
, f 0 ) est une fonction sur X γ0 , ω 0 × μ 0 -invariante pour l’action de
G(F 0 ) × A ˜
G (F 0 ). Il n’y a rien à démontrer si cette application est identiquement
nulle ; on suppose qu’il n’en est pas ainsi et conformément à la remarque de XI.7.2
on fixe un caractère, δ
0 , de H
1,0 (Γ F0 , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) qui se restreint en le caractère