XI.8. Approximation
1291
L’espace vectoriel (nécessairement de dimension finie) des fonctions sur X γ
avec les bonnes propriétés d’équivariance est en bijection naturelle avec l’espace
vectoriel engendré par les caractères de H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) dont la restriction
à G ab (F ) × A ˜
G (F ) est le caractère ω × μ
−1 . La remarque s’en déduit.
Remarque. On peut remplacer le corps local par un corps de nombres du moment
que H
1 (Γ F , G SC ) = 1. Ceci se produit si toutes les places archimédiennes de
F sont complexes. Fixons γ ∈ ˜
G(F ) d’image fortement régulière dans ˜
G (F ) et
notons X γ le sous-ensemble de ˜
G(F ) contenant les éléments de ˜
G(F ) stablement
conjugués d’un élément de A ˜
G (F )γ. Alors les orbites de G SC (F ) dans X γ et les
orbites de A ˜
G (F ) × G(F ) dans X γ se décrivent comme ci-dessus.
XI.8 Approximation
XI.8.1 Enoncé
On fixe F 0 , G 0 , ˜
G 0 , ω 0 et un caractère unitaire μ 0 de A ˜
G (F 0 ).
On note C
∞
μ0,c ( ˜
G 0 (F 0 )) les fonctions C
∞ sur ˜
G 0 (F 0 ) à support compact modulo le tore central A ˜
G0 (F 0 ) et se transformant sous A ˜
G0 (F 0 ) par le caractère μ 0 .
On considère dans cet espace le sous-espace vectoriel des fonctions dont toutes
les ω 0 -intégrales orbitales en des éléments semi-simples réguliers non elliptiques
sont nulles. Et I μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ), I cusp,μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ) sont, par définition, les quotients des
espaces vectoriels que l’on vient de définir par les sous-espaces vectoriels engendrés
par les fonctions dont toutes les ω 0 -intégrales orbitales sont nulles.
Soit f 0 ∈ I cusp,μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ). On suppose que pour tout corps de nombres F
muni d’une place v 0 , tout ensemble de données globales G, ˜
G, ω, μ qui se localisent
en la place v 0 en F 0 , G 0 , ˜
G 0 , ω 0 , μ 0 et pour toute fonction test f
v0 = ⊗
v =v0 f v ∈
I μ ( ˜
G(A
v0
F ), ω) cuspidale en au moins deux places et à support dans les éléments
semi-simples réguliers en au moins une place, on a :
(1)
I
˜
G
geo (ω, f
v0 f 0 ) = 0
Théorème. Sous ces hypothèses, f 0 est nul dans I cusp,μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ).
Le côté gauche de (1) est une somme finie d’intégrales orbitales sur des éléments de ˜
G(F ) semi-simples réguliers. La démonstration consiste à démontrer que
pour un choix judicieux de globalisation et d’une fonction f
v0 , le côté gauche de
(1) est un multiple avec un coefficient non nul de l’intégrale I
˜
G (γ, ω, f
v0 f 0 ) et que
v =v0 I
˜
G (γ v , ω v , f v ) = 0.
La preuve consiste d’abord à construire une situation globale où par localisation l’image de ˜
G(F ) est dense dans ˜
G(F 0 ) ; il suffit de démontrer que
I
˜
G (γ, ω v0 , f 0 ) = 0 pour tout élément γ de ˜
G(F ) (fortement régulier).
1291
L’espace vectoriel (nécessairement de dimension finie) des fonctions sur X γ
avec les bonnes propriétés d’équivariance est en bijection naturelle avec l’espace
vectoriel engendré par les caractères de H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) dont la restriction
à G ab (F ) × A ˜
G (F ) est le caractère ω × μ
−1 . La remarque s’en déduit.
Remarque. On peut remplacer le corps local par un corps de nombres du moment
que H
1 (Γ F , G SC ) = 1. Ceci se produit si toutes les places archimédiennes de
F sont complexes. Fixons γ ∈ ˜
G(F ) d’image fortement régulière dans ˜
G (F ) et
notons X γ le sous-ensemble de ˜
G(F ) contenant les éléments de ˜
G(F ) stablement
conjugués d’un élément de A ˜
G (F )γ. Alors les orbites de G SC (F ) dans X γ et les
orbites de A ˜
G (F ) × G(F ) dans X γ se décrivent comme ci-dessus.
XI.8 Approximation
XI.8.1 Enoncé
On fixe F 0 , G 0 , ˜
G 0 , ω 0 et un caractère unitaire μ 0 de A ˜
G (F 0 ).
On note C
∞
μ0,c ( ˜
G 0 (F 0 )) les fonctions C
∞ sur ˜
G 0 (F 0 ) à support compact modulo le tore central A ˜
G0 (F 0 ) et se transformant sous A ˜
G0 (F 0 ) par le caractère μ 0 .
On considère dans cet espace le sous-espace vectoriel des fonctions dont toutes
les ω 0 -intégrales orbitales en des éléments semi-simples réguliers non elliptiques
sont nulles. Et I μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ), I cusp,μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ) sont, par définition, les quotients des
espaces vectoriels que l’on vient de définir par les sous-espaces vectoriels engendrés
par les fonctions dont toutes les ω 0 -intégrales orbitales sont nulles.
Soit f 0 ∈ I cusp,μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ). On suppose que pour tout corps de nombres F
muni d’une place v 0 , tout ensemble de données globales G, ˜
G, ω, μ qui se localisent
en la place v 0 en F 0 , G 0 , ˜
G 0 , ω 0 , μ 0 et pour toute fonction test f
v0 = ⊗
v =v0 f v ∈
I μ ( ˜
G(A
v0
F ), ω) cuspidale en au moins deux places et à support dans les éléments
semi-simples réguliers en au moins une place, on a :
(1)
I
˜
G
geo (ω, f
v0 f 0 ) = 0
Théorème. Sous ces hypothèses, f 0 est nul dans I cusp,μ0 ( ˜
G 0 , ω 0 ).
Le côté gauche de (1) est une somme finie d’intégrales orbitales sur des éléments de ˜
G(F ) semi-simples réguliers. La démonstration consiste à démontrer que
pour un choix judicieux de globalisation et d’une fonction f
v0 , le côté gauche de
(1) est un multiple avec un coefficient non nul de l’intégrale I
˜
G (γ, ω, f
v0 f 0 ) et que
v =v0 I
˜
G (γ v , ω v , f v ) = 0.
La preuve consiste d’abord à construire une situation globale où par localisation l’image de ˜
G(F ) est dense dans ˜
G(F 0 ) ; il suffit de démontrer que
I
˜
G (γ, ω v0 , f 0 ) = 0 pour tout élément γ de ˜
G(F ) (fortement régulier).