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Chapitre XI. Appendice
Comme l’image de γ dans ˜
G (F ) est fortement régulière par hypothèse, cela veut
dire que gσ(g)
−1
∈ T (F ). Comme γ ∈ ˜
T l’égalité précédente devient
(θ − 1)(gσ(g)
−1 ) = σ(a)a
−1 .
Ecrivons g = zπ(g sc ) avec g sc ∈ T sc (F ) et z ∈ Z G (F ). Considérons l’application
de Γ F dans T sc (F ), σ → α(σ) := g sc σ(g sc )
−1 . On calcule :
(1 − θ)π(α(σ)) = a(θ − 1)(z)σ(a)
−1 σ(θ − 1)(z)
−1 .
Posons x := a(θ − 1)(z) ∈ U (F ) et l’élément (σ → α(σ), x) est un élément de
Z
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ).
Montrons que l’image de cet élément dans H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) ne dépend
pas des choix : il est clair que le choix de la décomposition g = zπ(g sc ) n’intervient
pas, il faut donc uniquement considérer le premier choix celui de a et g. Soit donc
a
, g
tel que
γ
= a
(g
)
−1 γg
= ag
−1 γg.
Donc g
∈ gT (F ) ; on peut donc trouver t sc ∈ T sc (F ) tel que dans les choix cidessus g
sc = t sc g sc ; cela change α en le cocycle σ → α(σ)g sc σ(t sc )
−1 et x en
x(1 − θ)π(t sc ). Ceci est l’invariance cherchée.
On vérifie aisément que remplacer γ
par a
γ
avec a
∈ A ˜
G (F ) ci-dessus
revient à remplacer (α(σ), x) par (α(σ), xa
).
Remplaçons maintenant γ
par π(g
sc )
−1 γ
π(g
sc ) avec g
sc ∈ G SC (F ). Alors x
ne change pas ci-dessus et α(σ) est remplacé par α(σ)g
sc σ(g
sc )
−1 = α(σ) car g
sc
est un point à valeurs dans F .
Montrons la surjectivité : soit (α(σ), x) un élément de H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→
U ). On écrit x = x
(1 − θ)π(t sc ) avec t sc ∈ T sc (F ) et x
∈ A ˜
G (F )(1 − θ)(Z G )(F ).
Suivant cette décomposition, on écrit x
= a(1 − θ)(z). On se ramène à t sc = 1 en
changeant α(σ) en un cocycle homologue. Ainsi x = x
= a(1 − θ)z. On considère
l’image du cocycle défini par α comme un cocycle à valeurs dans G SC ; il est
nécessairement trivial car on a supposé que F = R. Ainsi il existe g sc tel que
α(σ) = g sc σ(g sc )
−1 . On pose alors g = zg sc et γ
:= ag
−1 γg, c’est un élément
dans ˜
G(F ) et donc de X γ ; clairement il est dans la préimage de l’élément fixé
dans H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ). Sur cette construction, on vérifie que la fibre audessus de cet élément est l’ensemble des éléments obtenus en remplaçant g sc par
n’importe quel élément dans g sc G SC (F ).
Le reste du lemme est sans difficulté en suivant les constructions.
Remarque. Il y a des fonctions sur X γ , ω ×μ-équivariantes sous l’action de G(F )×
A ˜
G (F ) si et seulement si il existe un caractère du groupe H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U )
dont la restriction à G ab (F ) × A ˜
G (F ) (cf. (1) et (2) ci-dessus) est le caractère
ω × μ
−1 .