XI.7. Calculs cohomologiques
1289
pour tout a, g, γ
. On remarque qu’une telle fonction est invariante sous l’action
de l’image π(G SC (F )) dans G(F ).
Pour décrire les orbites de A ˜
G (F ) × G(F ) dans X γ on commence par décrire
les orbites sous l’action de π(G SC )(F ) (π est ici l’application naturelle de G SC dans
G) puis on décrira l’action de A ˜
G (F ) × G ab (F ) où G ab (F ) = G(F )/π(G SC (F )).
On rappelle que, T étant un tore fixé de G et T sc étant un tore de G SC d’image T ,
G ab (F ) s’identifie naturellement à H
1,0 (Γ F , T sc
π
→ T ) : en effet soit g ∈ G ab (F ).
Alors il existe z ∈ Z G (F ) et g
∈ G SC (F ) tel que g soit l’image dans G ab (F ) de
l’élément zπ(g
) ∈ G(F ). Ainsi le cocycle w ∈ W F → w(g
)(g
)
−1 est à valeurs
dans Z(G SC ) et son image sous π est le cobord défini par z. On définit donc ainsi
un élément de Z
1,0 (Γ F , Z GSC
π
→ Z G ). Cet élément dépend du choix de z mais
sa classe dans H
1,0 (Γ F , Z GSC
π
→ Z G ) n’en dépend pas. De plus changer g par
g
∈ gπ(G SC ) permet de garder le même choix de z et il est facile de voir que
G ab (F ) s’identifie bien à
H
1,0 (Γ F , Z GSC
π
→ Z G ) H
1,0 (Γ F , T sc
π
→ T ).
On introduit aussi le sous-tore U de T engendré par A ˜
G et (1 − θ)T (où θ
est l’action adjointe sur T de n’importe quel élément de ˜
T ) et le groupe
H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ).
On a des applications naturelles de
(1)
H
0 (Γ F , A ˜
G ) = A ˜
G (F ) → H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) a → (1, a)
et
(2)
G ab (F ) = H
1,0 (Γ F , T sc
π
→ T ) → H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U )
(t sc (w), t) → (t sc (w), tθ(t)
−1 ).
D’où une action de A ˜
G (F ) × G(F ) dans H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ), G(F ) agissant
via son quotient G ab (F ).
Lemme. Il existe une application surjective
γ
∈ X γ → γ
∈ H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U )
équivariante pour les actions de A ˜
G (F ) × G(F ) définies sur chacun des termes.
Les fibres de cette application sont précisément les orbites de l’action de G SC (F )
agissant via π et la conjugaison sur X γ .
Soit γ
∈ X γ . On fixe a ∈ A ˜
G (F ), g ∈ G(F ) tel que γ
= ag
−1 γg. Soit σ ∈ Γ F
et on écrit que σ(γ
) = γ
:
(gσ(g)
−1 )
−1 γ(gσ(g)
−1 ) = σ(a)a
−1 γ.
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pour tout a, g, γ
. On remarque qu’une telle fonction est invariante sous l’action
de l’image π(G SC (F )) dans G(F ).
Pour décrire les orbites de A ˜
G (F ) × G(F ) dans X γ on commence par décrire
les orbites sous l’action de π(G SC )(F ) (π est ici l’application naturelle de G SC dans
G) puis on décrira l’action de A ˜
G (F ) × G ab (F ) où G ab (F ) = G(F )/π(G SC (F )).
On rappelle que, T étant un tore fixé de G et T sc étant un tore de G SC d’image T ,
G ab (F ) s’identifie naturellement à H
1,0 (Γ F , T sc
π
→ T ) : en effet soit g ∈ G ab (F ).
Alors il existe z ∈ Z G (F ) et g
∈ G SC (F ) tel que g soit l’image dans G ab (F ) de
l’élément zπ(g
) ∈ G(F ). Ainsi le cocycle w ∈ W F → w(g
)(g
)
−1 est à valeurs
dans Z(G SC ) et son image sous π est le cobord défini par z. On définit donc ainsi
un élément de Z
1,0 (Γ F , Z GSC
π
→ Z G ). Cet élément dépend du choix de z mais
sa classe dans H
1,0 (Γ F , Z GSC
π
→ Z G ) n’en dépend pas. De plus changer g par
g
∈ gπ(G SC ) permet de garder le même choix de z et il est facile de voir que
G ab (F ) s’identifie bien à
H
1,0 (Γ F , Z GSC
π
→ Z G ) H
1,0 (Γ F , T sc
π
→ T ).
On introduit aussi le sous-tore U de T engendré par A ˜
G et (1 − θ)T (où θ
est l’action adjointe sur T de n’importe quel élément de ˜
T ) et le groupe
H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ).
On a des applications naturelles de
(1)
H
0 (Γ F , A ˜
G ) = A ˜
G (F ) → H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ) a → (1, a)
et
(2)
G ab (F ) = H
1,0 (Γ F , T sc
π
→ T ) → H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U )
(t sc (w), t) → (t sc (w), tθ(t)
−1 ).
D’où une action de A ˜
G (F ) × G(F ) dans H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U ), G(F ) agissant
via son quotient G ab (F ).
Lemme. Il existe une application surjective
γ
∈ X γ → γ
∈ H
1,0 (Γ F , T sc
(1−θ)◦π
→ U )
équivariante pour les actions de A ˜
G (F ) × G(F ) définies sur chacun des termes.
Les fibres de cette application sont précisément les orbites de l’action de G SC (F )
agissant via π et la conjugaison sur X γ .
Soit γ
∈ X γ . On fixe a ∈ A ˜
G (F ), g ∈ G(F ) tel que γ
= ag
−1 γg. Soit σ ∈ Γ F
et on écrit que σ(γ
) = γ
:
(gσ(g)
−1 )
−1 γ(gσ(g)
−1 ) = σ(a)a
−1 γ.