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Chapitre XI. Appendice
Soit E 0 une extension galoisienne finie de F 0 tel que Γ E0 agisse trivialement sur ˆ
U
et ˆ
T . Un élément de Z
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) se restreint à W E0 en donnant un homomorphisme de W E0 dans Ker ˆ
φ ; cette restriction ne dépend que de la classe d’équivalence de l’élément fixé et est donc attachée à un élément de H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ).
On fixe δ 0 ∈ H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) et une extension galoisienne E 0 de F 0 . On
dit que E 0 est adaptée à F 0 si Γ E0 agit trivialement sur ˆ
U et ˆ
T et si δ 0 restreint
à W E0 est un homomorphisme non ramifié de W E0 dans (Ker ˆ
φ)
ΓF 0 ,0 .
Lemme 1. Quand δ 0 est fixé, il existe des extensions galoisiennes E 0 de F 0 adaptées à δ 0 .
Voir le paragraphe 9 de [X].
On garde les notations du paragraphe précédent et on fixe δ 0 et une extension
galoisienne E 0 de F 0 adaptée à δ 0 . On fixe aussi un corps de nombres F et une
extension galoisienne finie E de F . On suppose qu’il existe une place v 0 de F telle
que F v0 = F 0 et qu’il n’existe qu’une seule place de E au-dessus de F et que l’on
ait E v0 = E 0 . On a alors un isomorphisme Gal(E/F ) Gal(E 0 /F 0 ). Ainsi ˆ
T , ˆ
U
sont munis d’action de Γ F triviales sur Γ E . On définit le groupe H
1,0 (W F ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T )
de façon analogue à la situation locale et on a un homomorphisme de localisation :
H
1,0 (W F ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) → H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ).
Lemme 2. L’image de l’homomorphisme de localisation ci-dessus contient δ 0 .
Voir le paragraphe 9 de [X].
XI.7.2 Action centrale et classe de conjugaison stable
Soit F un corps local different de R ; si F = R, il faudrait passer aux K-espaces, on
ne le fait pas ici. On considère l’espace tordu ˜
G de groupe sous-jacent G, définis sur
F et ayant des points sur F et le caractère ω de G(F ). On fixe aussi un caractère
unitaire μ de A ˜
G (F ). On pose G := G/A ˜
G et ˜
G = ˜
G/A ˜
G .
Soit γ un élément de ˜
G(F ) ; on suppose que l’image de γ dans ˜
G (F ) est un
élément fortement régulier. On note ˜
T le tore tordu de ˜
G contenant γ. On définit
alors
X γ := {γ
∈ ˜
G; ∃g ∈ G(F ), ∃a ∈ A ˜
G (F ) | γ
= ag
−1 γg}.
Le groupe A ˜
G (F ) agit sur X γ par translations et le groupe G(F ) y agit par conjugaison.
On s’intéresse aux fonctions sur X γ ω-invariantes sous l’action de G(F ) et se
transformant par le caractère μ sous l’action de A ˜
G (F ), c’est-à-dire les fonctions
φ vérifiant :
φ(ag
−1 γ
g) = ω(g)μ(a)φ(γ
),
Chapitre XI. Appendice
Soit E 0 une extension galoisienne finie de F 0 tel que Γ E0 agisse trivialement sur ˆ
U
et ˆ
T . Un élément de Z
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) se restreint à W E0 en donnant un homomorphisme de W E0 dans Ker ˆ
φ ; cette restriction ne dépend que de la classe d’équivalence de l’élément fixé et est donc attachée à un élément de H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ).
On fixe δ 0 ∈ H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) et une extension galoisienne E 0 de F 0 . On
dit que E 0 est adaptée à F 0 si Γ E0 agit trivialement sur ˆ
U et ˆ
T et si δ 0 restreint
à W E0 est un homomorphisme non ramifié de W E0 dans (Ker ˆ
φ)
ΓF 0 ,0 .
Lemme 1. Quand δ 0 est fixé, il existe des extensions galoisiennes E 0 de F 0 adaptées à δ 0 .
Voir le paragraphe 9 de [X].
On garde les notations du paragraphe précédent et on fixe δ 0 et une extension
galoisienne E 0 de F 0 adaptée à δ 0 . On fixe aussi un corps de nombres F et une
extension galoisienne finie E de F . On suppose qu’il existe une place v 0 de F telle
que F v0 = F 0 et qu’il n’existe qu’une seule place de E au-dessus de F et que l’on
ait E v0 = E 0 . On a alors un isomorphisme Gal(E/F ) Gal(E 0 /F 0 ). Ainsi ˆ
T , ˆ
U
sont munis d’action de Γ F triviales sur Γ E . On définit le groupe H
1,0 (W F ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T )
de façon analogue à la situation locale et on a un homomorphisme de localisation :
H
1,0 (W F ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) → H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ).
Lemme 2. L’image de l’homomorphisme de localisation ci-dessus contient δ 0 .
Voir le paragraphe 9 de [X].
XI.7.2 Action centrale et classe de conjugaison stable
Soit F un corps local different de R ; si F = R, il faudrait passer aux K-espaces, on
ne le fait pas ici. On considère l’espace tordu ˜
G de groupe sous-jacent G, définis sur
F et ayant des points sur F et le caractère ω de G(F ). On fixe aussi un caractère
unitaire μ de A ˜
G (F ). On pose G := G/A ˜
G et ˜
G = ˜
G/A ˜
G .
Soit γ un élément de ˜
G(F ) ; on suppose que l’image de γ dans ˜
G (F ) est un
élément fortement régulier. On note ˜
T le tore tordu de ˜
G contenant γ. On définit
alors
X γ := {γ
∈ ˜
G; ∃g ∈ G(F ), ∃a ∈ A ˜
G (F ) | γ
= ag
−1 γg}.
Le groupe A ˜
G (F ) agit sur X γ par translations et le groupe G(F ) y agit par conjugaison.
On s’intéresse aux fonctions sur X γ ω-invariantes sous l’action de G(F ) et se
transformant par le caractère μ sous l’action de A ˜
G (F ), c’est-à-dire les fonctions
φ vérifiant :
φ(ag
−1 γ
g) = ω(g)μ(a)φ(γ
),