XI.7. Calculs cohomologiques
1287
donnée ayant des vecteurs invariants sous K M . Il existe alors K
un sous-groupe
compact ouvert de G
tel que tout transfert de f à G
annule nécessairement toute
représentation tempérée de G
n’ayant pas de vecteurs invariants sous K
. Ce K
convient. Cela prouve le (i) du théorème.
Pour la preuve de (ii), on fixe G
et K
comme dans l’énoncé. Pour tout
espace de Levi M
de G
, il existe un sous-groupe compact ouvert K
M de M
tel
que pour toute représentation elliptique irréductible σ
de M
l’induite de σ
a des
vecteurs K
invariants uniquement si σ
a des vecteurs K
M invariant. Ensuite on
procède comme dans la preuve ci-dessus.
Corollaire.
(i) Soit K un sous-groupe compact ouvert de G et soit G
une donnée endoscopique elliptique de ˜
G. Alors il existe un sous-groupe compact ouvert K
de
G
tel que pour toute fonction f sur ˜
G qui est K-bi-invariante, il existe une
fonction f
sur G
qui est K
-bi-invariante et qui soit un transfert de f .
(ii) Pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G on fixe un sous-groupe
compact ouvert K G de G
. Alors il existe un sous-groupe compact ouvert K
de G tel pour tout ensemble de fonctions f G indexées par les données G
chacune des fonctions étant invariante sour K G s’il existe une fonction f
sur ˜
G dont chacune des f G est un transfert pour G
, alors on peut choisir
f bi-invariante sour K.
Cela résulte du théorème précédent via le théorème de Paley–Wiener : en
effet dans (i) comme dans (ii), le théorème précédent dit que la fonction que l’on
cherche ne vit que sur un ensemble fini de composantes de Paley–Wiener.
XI.7 Calculs cohomologiques
XI.7.1 Préliminaires sur les classes de conjugaisons stables
modulo le centre
Soient F 0 un corps p-adique, ˆ
T , ˆ
U des tores complexes munis d’une action continue de Γ F0 et un homomorphisme Γ F0 -équivariant, ˆ
φ : ˆ
U → ˆ
T . On définit le
groupe H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ), ce groupe est défini par Kottwitz–Shelstad en [48]
A3 et par Labesse en [50] : on note Z
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) l’ensemble des couples
(w → u(w); t) formés d’un cocycle de W F0 dans ˆ
U et d’un élément de ˆ
T satisfaisant à ∀w ∈ W F0 , ˆ
φ(u(w)) = w(t)t
−1 et H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) est l’ensemble des
classes d’équivalence dans Z
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) pour la relation d’équivalence la plus
naturelle (cf. [I] 1.12) :
∀x ∈ ˆ
U ; (u(w), t) (u(w)w(x)x
−1 , t ˆ
φ(x)).
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donnée ayant des vecteurs invariants sous K M . Il existe alors K
un sous-groupe
compact ouvert de G
tel que tout transfert de f à G
annule nécessairement toute
représentation tempérée de G
n’ayant pas de vecteurs invariants sous K
. Ce K
convient. Cela prouve le (i) du théorème.
Pour la preuve de (ii), on fixe G
et K
comme dans l’énoncé. Pour tout
espace de Levi M
de G
, il existe un sous-groupe compact ouvert K
M de M
tel
que pour toute représentation elliptique irréductible σ
de M
l’induite de σ
a des
vecteurs K
invariants uniquement si σ
a des vecteurs K
M invariant. Ensuite on
procède comme dans la preuve ci-dessus.
Corollaire.
(i) Soit K un sous-groupe compact ouvert de G et soit G
une donnée endoscopique elliptique de ˜
G. Alors il existe un sous-groupe compact ouvert K
de
G
tel que pour toute fonction f sur ˜
G qui est K-bi-invariante, il existe une
fonction f
sur G
qui est K
-bi-invariante et qui soit un transfert de f .
(ii) Pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G on fixe un sous-groupe
compact ouvert K G de G
. Alors il existe un sous-groupe compact ouvert K
de G tel pour tout ensemble de fonctions f G indexées par les données G
chacune des fonctions étant invariante sour K G s’il existe une fonction f
sur ˜
G dont chacune des f G est un transfert pour G
, alors on peut choisir
f bi-invariante sour K.
Cela résulte du théorème précédent via le théorème de Paley–Wiener : en
effet dans (i) comme dans (ii), le théorème précédent dit que la fonction que l’on
cherche ne vit que sur un ensemble fini de composantes de Paley–Wiener.
XI.7 Calculs cohomologiques
XI.7.1 Préliminaires sur les classes de conjugaisons stables
modulo le centre
Soient F 0 un corps p-adique, ˆ
T , ˆ
U des tores complexes munis d’une action continue de Γ F0 et un homomorphisme Γ F0 -équivariant, ˆ
φ : ˆ
U → ˆ
T . On définit le
groupe H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ), ce groupe est défini par Kottwitz–Shelstad en [48]
A3 et par Labesse en [50] : on note Z
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) l’ensemble des couples
(w → u(w); t) formés d’un cocycle de W F0 dans ˆ
U et d’un élément de ˆ
T satisfaisant à ∀w ∈ W F0 , ˆ
φ(u(w)) = w(t)t
−1 et H
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) est l’ensemble des
classes d’équivalence dans Z
1,0 (W F0 ; ˆ
U
ˆ
φ
→ ˆ
T ) pour la relation d’équivalence la plus
naturelle (cf. [I] 1.12) :
∀x ∈ ˆ
U ; (u(w), t) (u(w)w(x)x
−1 , t ˆ
φ(x)).