1286
Chapitre XI. Appendice
semi-simples de ˜
G et de ˜
G
de [I] 1.3 et 1.8 donne une application naturelle de
A ˜
G,F dans G
. Donc un caractère non ramifié de A ˜
G ,F donne un caractère de G
qui se restreint en un caractère de A ˜
G,F et c’est la correspondance précédente (cf.
[IV] 2.1).
L’espace Ell st (G
, K) est donc stable par tensorisation sous iA
∗
˜
G ,F
; on note
SI cusp,st (G
, K) l’ensemble des fonctions de Paley–Wiener sur Ell st (G
, K) ; on
voit cet espace comme un sous-espace de SI cusp (G
) en prolongeant par 0 sur l’orthogonal de Ell st (G
, K) dans Ell st (G
) pour le produit scalaire elliptique. Comme
le transfert est compatible au produit scalaire elliptique d’après la proposition 4.17
de [I], par transfert la projection de I cusp ( ˜
G, ω, K) sur SI cusp (G
) est incluse dans
SI cusp,st (G
, K). Par finitude, il existe un sous-groupe compact ouvert K
de G
tel que SI cusp,st (G
, K) annule les représentations elliptiques de G
n’ayant pas de
vecteurs invariants sous K
. Cela prouve le lemme.
Théorème.
(i) Soit K un sous-groupe compact ouvert de G ; pour toute donnée endoscopique
elliptique G
de ˜
G, il existe un sous-groupe ouvert compact K
de G
tel
que pour tout élément f de I( ˜
G, ω) qui annule toute représentation tempérée
n’ayant pas de vecteur invariant sous K, il existe un transfert f
G
de f
dans SI(G
) annulant toute représentation tempérée n’ayant pas de vecteur
invariant sous K
.
(ii) Soit G
une donnée endoscopique elliptique de ˜
G et soit K
un sous-groupe
compact ouvert de G
; alors il existe un sous-groupe compact ouvert K de
G tel que pour toute représentation tempérée stable de G
dont toutes les
composantes irréductibles ont des vecteurs K
-invariants, le transfert est une
représentation de ˜
G dont toutes les composantes irréductibles ont des vecteurs
K-invariants.
On fixe un espace de Levi ˜
M et on démontre le théorème pour les éléments
de I( ˜
G, ω) dont les composantes de Paley–Wiener sont nulles sauf celles correspondant à la classe de conjugaison de ˜
M et aux représentations elliptiques
de ˜
M . Par passage aux termes constants cet espace de fonctions s’identifie à
I cusp ( ˜
M , ω)
Norm ˜
G (M) . Soit f une telle fonction que l’on suppose en plus bi-invariante sous K et f ˜
M son terme constant. On fixe G
une donnée endoscopique
elliptique de ˜
G ; si cette donnée ne contient pas de sous-groupe de Levi qui se
transfère en un conjugué de M , le transfert des fonctions considérées à G
est zéro
et il n’y a rien à démontrer pour G
. Sinon, on fixe M
un tel sous-groupe de Levi.
Grâce au lemme précédent, on fixe K
M un sous-groupe ouvert de M
tel que f ˜
M
ait un transfert à M
invariant sous K
M , on fixe un tel transfert, f
(M
) ; quitte à
restreindre K
M , on suppose que f
(M
) est invariant sous le normalisateur dans
G
de M
. On fait cela pour toutes les données endoscopiques elliptiques M
de M
incluses dans G
. Ainsi un transfert de f à G
annule nécessairement toute représentation tempérée de G
qui n’est pas sous-quotient d’une représentation induite
à partir de l’une de ces données M
et d’une représentation elliptique de cette
Chapitre XI. Appendice
semi-simples de ˜
G et de ˜
G
de [I] 1.3 et 1.8 donne une application naturelle de
A ˜
G,F dans G
. Donc un caractère non ramifié de A ˜
G ,F donne un caractère de G
qui se restreint en un caractère de A ˜
G,F et c’est la correspondance précédente (cf.
[IV] 2.1).
L’espace Ell st (G
, K) est donc stable par tensorisation sous iA
∗
˜
G ,F
; on note
SI cusp,st (G
, K) l’ensemble des fonctions de Paley–Wiener sur Ell st (G
, K) ; on
voit cet espace comme un sous-espace de SI cusp (G
) en prolongeant par 0 sur l’orthogonal de Ell st (G
, K) dans Ell st (G
) pour le produit scalaire elliptique. Comme
le transfert est compatible au produit scalaire elliptique d’après la proposition 4.17
de [I], par transfert la projection de I cusp ( ˜
G, ω, K) sur SI cusp (G
) est incluse dans
SI cusp,st (G
, K). Par finitude, il existe un sous-groupe compact ouvert K
de G
tel que SI cusp,st (G
, K) annule les représentations elliptiques de G
n’ayant pas de
vecteurs invariants sous K
. Cela prouve le lemme.
Théorème.
(i) Soit K un sous-groupe compact ouvert de G ; pour toute donnée endoscopique
elliptique G
de ˜
G, il existe un sous-groupe ouvert compact K
de G
tel
que pour tout élément f de I( ˜
G, ω) qui annule toute représentation tempérée
n’ayant pas de vecteur invariant sous K, il existe un transfert f
G
de f
dans SI(G
) annulant toute représentation tempérée n’ayant pas de vecteur
invariant sous K
.
(ii) Soit G
une donnée endoscopique elliptique de ˜
G et soit K
un sous-groupe
compact ouvert de G
; alors il existe un sous-groupe compact ouvert K de
G tel que pour toute représentation tempérée stable de G
dont toutes les
composantes irréductibles ont des vecteurs K
-invariants, le transfert est une
représentation de ˜
G dont toutes les composantes irréductibles ont des vecteurs
K-invariants.
On fixe un espace de Levi ˜
M et on démontre le théorème pour les éléments
de I( ˜
G, ω) dont les composantes de Paley–Wiener sont nulles sauf celles correspondant à la classe de conjugaison de ˜
M et aux représentations elliptiques
de ˜
M . Par passage aux termes constants cet espace de fonctions s’identifie à
I cusp ( ˜
M , ω)
Norm ˜
G (M) . Soit f une telle fonction que l’on suppose en plus bi-invariante sous K et f ˜
M son terme constant. On fixe G
une donnée endoscopique
elliptique de ˜
G ; si cette donnée ne contient pas de sous-groupe de Levi qui se
transfère en un conjugué de M , le transfert des fonctions considérées à G
est zéro
et il n’y a rien à démontrer pour G
. Sinon, on fixe M
un tel sous-groupe de Levi.
Grâce au lemme précédent, on fixe K
M un sous-groupe ouvert de M
tel que f ˜
M
ait un transfert à M
invariant sous K
M , on fixe un tel transfert, f
(M
) ; quitte à
restreindre K
M , on suppose que f
(M
) est invariant sous le normalisateur dans
G
de M
. On fait cela pour toutes les données endoscopiques elliptiques M
de M
incluses dans G
. Ainsi un transfert de f à G
annule nécessairement toute représentation tempérée de G
qui n’est pas sous-quotient d’une représentation induite
à partir de l’une de ces données M
et d’une représentation elliptique de cette