XI.6. Transfert et ramification
1285
de conjugaison sous Stab ˜
G ( ˜
L). De plus f ˜
L annule aussi toutes les représentations
tempérées stables de ˜
L car l’induction est compatible à la stabilité. Par l’hypothèse
de récurrence on obtient donc que l’intégrale orbitale stable de f en ˜
γ est nulle.
Pour démontrer la même propriété quand ˜
γ est elliptique on globalise la situation
comme en XI.4.3. On remarque que l’hypothèse faite sur f et XI.3.1 assure que
tr ˜
π(f ) = 0 pour toute représentation ˜
π stable (pas seulement les tempérées). On
vérifie alors que le côté spectral de la formule des traces stable simple appliqué à
f f
v est nul pour toute fonction f
v cuspidale en au moins deux places différentes
de v et à support dans les éléments réguliers. Le côté géométrique est une somme
d’intégrales orbitales stables. Comme dans XI.4.2, on en déduit que les intégrales
orbitales stables en tout point elliptique de ˜
G de f sont nulles. Cela termine la
preuve de (i).
(ii) résulte essentiellement de (i). Soit ˜
π H,st une représentation tempérée
stable de H. On note ˜
π le transfert de ˜
π H,st qui existe d’après le corollaire précédent. On a tr ˜
π(f ) = 0 = tr ˜
π H,st (f
H ). Ainsi f
H satisfait aux conditions de (i) et
la conclusion de (i) est alors la conclusion cherchée de (ii).
XI.6 Transfert et ramification
Lemme. Soit K un sous-groupe compact ouvert de G ; pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G, il existe un sous-groupe ouvert compact K
de G
tel que pour tout élément f de I cusp ( ˜
G, ω) qui annule toute représentation elliptique n’ayant pas de vecteur invariant sous K, il existe un transfert f
G
de f dans
SI cusp (G
) annulant toute représentation n’ayant pas de vecteur invariant sous K
.
On note I cusp ( ˜
G, ω, K) l’ensemble des fonctions cuspidales sur ˜
G annulant les
représentations elliptiques n’ayant pas de vecteurs K-invariants. Par le théorème
de Paley–Wiener, cet espace s’identifie à un produit de fonctions de Paley–Wiener
sur iA
∗
˜
G,F
, produit indexé par un système de représentants des classes d’homothétie de représentations elliptiques de ˜
G, modulo l’action de iA
∗
˜
G,F
, ayant des
vecteurs invariants sous K. En tenant compte de la proposition précédente cet
ensemble de représentants est fini. Soit G
une donnée endoscopique elliptique
de ˜
G. On considère le sous-espace vectoriel Ell st (G
, K) de Ell st (G
) engendré
par les images des représentations elliptiques de ˜
G ayant des vecteurs invariants
sous K, c’est-à-dire l’espace vectoriel engendré par les représentations combinaison linéaires de représentations elliptiques de G
, stables, dont le transfert vers ˜
G
modulo le transfert d’une représentation convenable des autres données endoscopiques elliptiques est l’une des représentations elliptiques de ˜
G ayant des vecteurs
K-invariants. Puisque G
est une donnée endoscopique elliptique de ˜
G, A
∗
G = A
∗
˜
G
;
cette égalité est compatible au transfert au sens de [IV] 2.1 (ii) (cf. la remarque de
cette référence) et elle donne une correspondance entre les caractères de A ˜
G ,F et
ceux de A ˜
G,F compatible au transfert : en effet, la correspondance entre éléments
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de conjugaison sous Stab ˜
G ( ˜
L). De plus f ˜
L annule aussi toutes les représentations
tempérées stables de ˜
L car l’induction est compatible à la stabilité. Par l’hypothèse
de récurrence on obtient donc que l’intégrale orbitale stable de f en ˜
γ est nulle.
Pour démontrer la même propriété quand ˜
γ est elliptique on globalise la situation
comme en XI.4.3. On remarque que l’hypothèse faite sur f et XI.3.1 assure que
tr ˜
π(f ) = 0 pour toute représentation ˜
π stable (pas seulement les tempérées). On
vérifie alors que le côté spectral de la formule des traces stable simple appliqué à
f f
v est nul pour toute fonction f
v cuspidale en au moins deux places différentes
de v et à support dans les éléments réguliers. Le côté géométrique est une somme
d’intégrales orbitales stables. Comme dans XI.4.2, on en déduit que les intégrales
orbitales stables en tout point elliptique de ˜
G de f sont nulles. Cela termine la
preuve de (i).
(ii) résulte essentiellement de (i). Soit ˜
π H,st une représentation tempérée
stable de H. On note ˜
π le transfert de ˜
π H,st qui existe d’après le corollaire précédent. On a tr ˜
π(f ) = 0 = tr ˜
π H,st (f
H ). Ainsi f
H satisfait aux conditions de (i) et
la conclusion de (i) est alors la conclusion cherchée de (ii).
XI.6 Transfert et ramification
Lemme. Soit K un sous-groupe compact ouvert de G ; pour toute donnée endoscopique elliptique G
de ˜
G, il existe un sous-groupe ouvert compact K
de G
tel que pour tout élément f de I cusp ( ˜
G, ω) qui annule toute représentation elliptique n’ayant pas de vecteur invariant sous K, il existe un transfert f
G
de f dans
SI cusp (G
) annulant toute représentation n’ayant pas de vecteur invariant sous K
.
On note I cusp ( ˜
G, ω, K) l’ensemble des fonctions cuspidales sur ˜
G annulant les
représentations elliptiques n’ayant pas de vecteurs K-invariants. Par le théorème
de Paley–Wiener, cet espace s’identifie à un produit de fonctions de Paley–Wiener
sur iA
∗
˜
G,F
, produit indexé par un système de représentants des classes d’homothétie de représentations elliptiques de ˜
G, modulo l’action de iA
∗
˜
G,F
, ayant des
vecteurs invariants sous K. En tenant compte de la proposition précédente cet
ensemble de représentants est fini. Soit G
une donnée endoscopique elliptique
de ˜
G. On considère le sous-espace vectoriel Ell st (G
, K) de Ell st (G
) engendré
par les images des représentations elliptiques de ˜
G ayant des vecteurs invariants
sous K, c’est-à-dire l’espace vectoriel engendré par les représentations combinaison linéaires de représentations elliptiques de G
, stables, dont le transfert vers ˜
G
modulo le transfert d’une représentation convenable des autres données endoscopiques elliptiques est l’une des représentations elliptiques de ˜
G ayant des vecteurs
K-invariants. Puisque G
est une donnée endoscopique elliptique de ˜
G, A
∗
G = A
∗
˜
G
;
cette égalité est compatible au transfert au sens de [IV] 2.1 (ii) (cf. la remarque de
cette référence) et elle donne une correspondance entre les caractères de A ˜
G ,F et
ceux de A ˜
G,F compatible au transfert : en effet, la correspondance entre éléments