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Chapitre XI. Appendice
XI.5 Conséquences
Ici le corps est de nouveau un corps local archimédien ou non-archimédien pour
unifier le contexte.
XI.5.1 Prolongement des formules de transfert
Soit H un sous-groupe endoscopique elliptique de ˜
G et soit ˜
π H,st une représentation
stable de H
Corollaire. Il existe une représentation ˜
π de ˜
G telle que pour toute fonction f sur
˜
G, on ait l’égalité de transfert
tr ˜
π(f ) = tr ˜
π H,st (f
H ).
En XI.3.1, on a décomposé π H,st en somme de représentations induites à
partir de représentations elliptiques (modulo le centre) stables. Comme l’induction
est compatible au transfert, il suffit d’appliquer le corollaire de XI.4.4 dans le cas
non-archimédien et son analogue [III] 3.2 dans le cas archimédien.
XI.5.2 Un critère spectral de nullité pour le transfert d’une fonction
Le corollaire ci-dessous a sans doute une démonstration plus élémentaire.
Corollaire.
(i) On suppose que G est quasi-déployé, que ˜
G est à torsion intérieure et que
ω = 1. Soit f une fonction sur ˜
G. On suppose que tr ˜
π(f ) = 0 pour toute
représentation tempérée stable de ˜
G, alors les intégrales orbitales stables de
f en tous les points semi-simples réguliers de ˜
G sont nulles.
(ii) On ne fait pas d’hypothèses sur ˜
G. Soit H une donnée endoscopique elliptique
de ˜
G et soit f une fonction sur ˜
G. On suppose que tr ˜
π(f ) = 0 pour toute
représentation tempérée de ˜
G qui est un transfert d’une représentation stable
de H. Alors la fonction identiquement nulle est un transfert de f à H.
On rappelle qu’en utilisant la formule des traces locale non invariante, il
résulte de [81] 5.5, que si f annule toutes les représentations tempérées alors les
intégrales orbitales de f en tous les points semi-simples réguliers sont nulles. C’est
donc ici une version stable et endoscopique de ce résultat.
Montrons (i) par récurrence sur le rang de ˜
G ; on fixe f ayant la propriété de
l’énoncé. Soit ˜
γ un élément semi-simple régulier de ˜
G. On suppose d’abord que ˜
γ
n’est pas elliptique et on note ˜
L un espace de Levi tel que ˜
γ soit elliptique dans
˜
L. L’intégrale stable de f en ˜
γ se calcule en fonction de l’intégrale stable de f ˜
L
en ˜
γ : vérifions cela. Le centralisateur de ˜
γ dans G et dans L sont les mêmes.
Ainsi toute classe de conjugaison sous G dans la classe de conjugaison stable sous
G dans la classe de conjugaison stable de ˜
γ coupe ˜
L et coupe ˜
L en une classe
Chapitre XI. Appendice
XI.5 Conséquences
Ici le corps est de nouveau un corps local archimédien ou non-archimédien pour
unifier le contexte.
XI.5.1 Prolongement des formules de transfert
Soit H un sous-groupe endoscopique elliptique de ˜
G et soit ˜
π H,st une représentation
stable de H
Corollaire. Il existe une représentation ˜
π de ˜
G telle que pour toute fonction f sur
˜
G, on ait l’égalité de transfert
tr ˜
π(f ) = tr ˜
π H,st (f
H ).
En XI.3.1, on a décomposé π H,st en somme de représentations induites à
partir de représentations elliptiques (modulo le centre) stables. Comme l’induction
est compatible au transfert, il suffit d’appliquer le corollaire de XI.4.4 dans le cas
non-archimédien et son analogue [III] 3.2 dans le cas archimédien.
XI.5.2 Un critère spectral de nullité pour le transfert d’une fonction
Le corollaire ci-dessous a sans doute une démonstration plus élémentaire.
Corollaire.
(i) On suppose que G est quasi-déployé, que ˜
G est à torsion intérieure et que
ω = 1. Soit f une fonction sur ˜
G. On suppose que tr ˜
π(f ) = 0 pour toute
représentation tempérée stable de ˜
G, alors les intégrales orbitales stables de
f en tous les points semi-simples réguliers de ˜
G sont nulles.
(ii) On ne fait pas d’hypothèses sur ˜
G. Soit H une donnée endoscopique elliptique
de ˜
G et soit f une fonction sur ˜
G. On suppose que tr ˜
π(f ) = 0 pour toute
représentation tempérée de ˜
G qui est un transfert d’une représentation stable
de H. Alors la fonction identiquement nulle est un transfert de f à H.
On rappelle qu’en utilisant la formule des traces locale non invariante, il
résulte de [81] 5.5, que si f annule toutes les représentations tempérées alors les
intégrales orbitales de f en tous les points semi-simples réguliers sont nulles. C’est
donc ici une version stable et endoscopique de ce résultat.
Montrons (i) par récurrence sur le rang de ˜
G ; on fixe f ayant la propriété de
l’énoncé. Soit ˜
γ un élément semi-simple régulier de ˜
G. On suppose d’abord que ˜
γ
n’est pas elliptique et on note ˜
L un espace de Levi tel que ˜
γ soit elliptique dans
˜
L. L’intégrale stable de f en ˜
γ se calcule en fonction de l’intégrale stable de f ˜
L
en ˜
γ : vérifions cela. Le centralisateur de ˜
γ dans G et dans L sont les mêmes.
Ainsi toute classe de conjugaison sous G dans la classe de conjugaison stable sous
G dans la classe de conjugaison stable de ˜
γ coupe ˜
L et coupe ˜
L en une classe