XI.4. Représentations elliptiques comme transfert
1283
XI.4.4 Prolongement des formules de transfert entre représentations
elliptiques et fin de la preuve
On récrit ici un peu différemment ce que l’on vient de démontrer, pour pouvoir le
citer aisément. On revient à une situation locale.
Pour tout sous-groupe endoscopique elliptique H de ˜
G, fixons une représentation virtuelle elliptique stable ˜
π H,st . Soit ˜
π une représentation virtuelle elliptique
de ˜
G. On suppose que pour toute fonction cuspidale f sur ˜
G on a l’égalité de
transfert :
(1)
tr ˜
π(f ) =
H
tr ˜
π H,st (f
H ).
Corollaire. Alors (1) est vrai pour toute fonction f .
On peut d’abord décomposer (1) (sur les elliptiques) en fonction des caractères unitaires de A ˜
G et se ramener à démontrer l’égalité en supposant en plus que
˜
π à un caractère unitaire sous A ˜
G . C’est alors exactement ce que l’on a démontré.
On peut maintenant terminer la preuve du théorème. On fixe H un sousgroupe endoscopique elliptique de ˜
G et ˜
π H,st une représentation elliptique stable
de H. Le groupe d’automorphismes de la donnée endoscopique agit canoniquement
sur l’ensemble des représentations elliptiques stables ; plutôt que sur l’ensemble des
représentations c’est sur l’ensemble des fonctions cuspidales que ce groupe opère
(cf. [I] 2.6) et on passe de l’un des ensembles à l’autre via les pseudo-coefficients.
La composante neutre de ce groupe agit trivialement ([I] 2.6) et on note ˜
π
Aut(H)
H,st
la
projection de ˜
π H,st sur l’espace des invariants sous ce groupe d’automorphismes.
Pour toute fonction f cuspidale sur ˜
G, le transfert f
H est une fonction cuspidale
sur H invariante sous ce groupe d’automorphismes. Ainsi on a tr ˜
π H,st (f
H ) =
tr ˜
π
Aut(H)
H,st
(f
H ). On transfère cette représentation sur les elliptiques c’est-à-dire
que l’on note ˜
π la représentation elliptique de ˜
G, uniquement déterminée par le
fait que pour toute fonction cuspidale f sur ˜
G, on ait, tr ˜
π(f ) = tr ˜
π H,st (f
H ) :
pour voir que cela existe, on suppose qu’un caractère est fixé pour l’action de A ˜
G
et on note f ˜
π l’unique fonction cuspidale sur ˜
G dont tous les transferts relatifs
aux données endoscopiques elliptiques non isomorphes à H sont nuls et dont le
transfert à H est une fonction nulle sur l’orthogonal de ˜
π
Aut(H)
H,st
et qui vaut 1
sur cette représentation. Alors ˜
π n’est autre que la représentation elliptique dans
l’orthogonal du noyau de la forme linéaire ˜
σ → tr ˜
σ(f ˜
π ) et qui a pour trace 1 sur f ˜
π .
Cette représentation vérifie (1) et avec le corollaire elle est donc un transfert
de π H,st . Cela prouve la fin du théorème.
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XI.4.4 Prolongement des formules de transfert entre représentations
elliptiques et fin de la preuve
On récrit ici un peu différemment ce que l’on vient de démontrer, pour pouvoir le
citer aisément. On revient à une situation locale.
Pour tout sous-groupe endoscopique elliptique H de ˜
G, fixons une représentation virtuelle elliptique stable ˜
π H,st . Soit ˜
π une représentation virtuelle elliptique
de ˜
G. On suppose que pour toute fonction cuspidale f sur ˜
G on a l’égalité de
transfert :
(1)
tr ˜
π(f ) =
H
tr ˜
π H,st (f
H ).
Corollaire. Alors (1) est vrai pour toute fonction f .
On peut d’abord décomposer (1) (sur les elliptiques) en fonction des caractères unitaires de A ˜
G et se ramener à démontrer l’égalité en supposant en plus que
˜
π à un caractère unitaire sous A ˜
G . C’est alors exactement ce que l’on a démontré.
On peut maintenant terminer la preuve du théorème. On fixe H un sousgroupe endoscopique elliptique de ˜
G et ˜
π H,st une représentation elliptique stable
de H. Le groupe d’automorphismes de la donnée endoscopique agit canoniquement
sur l’ensemble des représentations elliptiques stables ; plutôt que sur l’ensemble des
représentations c’est sur l’ensemble des fonctions cuspidales que ce groupe opère
(cf. [I] 2.6) et on passe de l’un des ensembles à l’autre via les pseudo-coefficients.
La composante neutre de ce groupe agit trivialement ([I] 2.6) et on note ˜
π
Aut(H)
H,st
la
projection de ˜
π H,st sur l’espace des invariants sous ce groupe d’automorphismes.
Pour toute fonction f cuspidale sur ˜
G, le transfert f
H est une fonction cuspidale
sur H invariante sous ce groupe d’automorphismes. Ainsi on a tr ˜
π H,st (f
H ) =
tr ˜
π
Aut(H)
H,st
(f
H ). On transfère cette représentation sur les elliptiques c’est-à-dire
que l’on note ˜
π la représentation elliptique de ˜
G, uniquement déterminée par le
fait que pour toute fonction cuspidale f sur ˜
G, on ait, tr ˜
π(f ) = tr ˜
π H,st (f
H ) :
pour voir que cela existe, on suppose qu’un caractère est fixé pour l’action de A ˜
G
et on note f ˜
π l’unique fonction cuspidale sur ˜
G dont tous les transferts relatifs
aux données endoscopiques elliptiques non isomorphes à H sont nuls et dont le
transfert à H est une fonction nulle sur l’orthogonal de ˜
π
Aut(H)
H,st
et qui vaut 1
sur cette représentation. Alors ˜
π n’est autre que la représentation elliptique dans
l’orthogonal du noyau de la forme linéaire ˜
σ → tr ˜
σ(f ˜
π ) et qui a pour trace 1 sur f ˜
π .
Cette représentation vérifie (1) et avec le corollaire elle est donc un transfert
de π H,st . Cela prouve la fin du théorème.