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Chapitre XI. Appendice
On a donc l’égalité :
(9)
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)
˜
π(f ) −
H,˜ πH,st
c(˜ π, ˜
π H,st )˜ π H,st (f
H )
=
H,˜ πH,st
S ν ( ˙
f
v,H , ˜
π H,st ) −
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)c(˜ π, ˜
π H,st )
˜
π H,st (f
H ).
Si on suppose f cuspidale le membre de gauche est nul par définition, le
membre de droite l’est donc aussi mais cela force la nullité des coefficients :
S ν ( ˙
f
v,H , ˜
π H,st ) −
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)c(˜ π, ˜
π H,st ),
puisque tout pseudo coefficient des ˜
π H,st peut être obtenu par transfert à partir
d’une fonction cuspidale sur ˜
G 0 (c’est la construction de la base décrite ci-dessus).
Ainsi (9) est nulle pour tout f . On veut montrer que cela force l’égalité pour tout
˜
π représentation elliptique de ˜
G 0 et pour tout f
(10)
˜
π(f ) −
H,˜ πH,st
c(˜ π, ˜
π H,st )˜ π H,st (f
H ).
Pour cela, on fixe f et on pose
φ f :=
˜
π,elliptique
φ ˜
π
˜
π(f ) −
H,˜ πH,st
c(˜ π, ˜
π H,st )˜ π H,st (f
H )
,
où φ ˜
π est un pseudo coefficient cuspidal de ˜
π ; la somme est nécessairement finie.
Comme φ f est cuspidale,
I ν ( ˙
f
v φ f ) =
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)˜ π(φ f ).
Et ceci est nul puisque cela vaut (9) par construction. Puisque ceci est vrai
pour tout ν, on a I( ˙
f
v φ f ) = 0 pour tout ˙
f
v . Cela entraîne donc que le côté
géométrique est nul (c’est le même) d’où pour tout ˙
f
v , I geo ( ˙
f
v φ f ) = 0.
On utilise alors XI.4.2 pour conclure que φ f a toutes ses ω-intégrales orbitales
nulles. Cette fonction est donc de trace nulle dans toute représentation et en
particulier sur les représentations elliptiques. Mais comme elle est une combinaison
linéaire de pseudo coefficients cela veut dire que les coefficients de la combinaison
linéaire sont tous nuls ce que nous voulions puisque cette nullité réalise toute
représentation elliptique de ˜
G 0 comme un transfert de représentations elliptiques
stables des groupes endoscopiques elliptiques de ˜
G 0 .