XI.4. Représentations elliptiques comme transfert
1281
(8) et si g ∈ ˜
M 0 est un élément semi-simple régulier de ˜
M 0 appartenant au
support de
a f M0 , alors I(g, ω,
a f
K
M0 ) = I
˜
M0 (g, ω,
a f M0 ).
On fixe f M0 , K et η.
On fixe M H une donnée endoscopique elliptique de ˜
M 0 incluse dans H. On
note f
MH
M0 un transfert de f M0 à cette donnée. Pour toute donnée endoscopique
elliptique H de ˜
G 0 contenant M H , on fixe K H , η H tel que l’on puisse faire la
construction précédente dans H en partant de cette fonction ; on note alors
a f
KH
H
le résultat, ici on a encore a ∈ A ˜
M0 = A MH par ellipticité. On a fixé toutes les
données et on considère η 1 suffisamment petit pour que les toutes les fonctions
associées aux élements a ∈ A ˜
M0 tel que |α(a)| < η
(pour α comme ci-dessus)
soient définies. Avec les propriétés (7) et (8) ci-dessus appliquées à
a f
K et
a f
KH
H ,
on voit que la deuxième fonction est un transfert de la première pour les intégrales
orbitales correspondant à des éléments de ˜
G 0 stablement conjugués d’un élément
de ˜
M 0 se transférant en une classe de conjugaison stable de M H . En sommant sur
tous les choix de M H (à équivalence près) on construit ainsi les transferts non nuls
des fonctions
a f
K . On a ainsi vérifié qu’il existe η suffisamment petit tel que pour
toute donnée endoscopique elliptique H de ˜
G 0 , ω 0 , un sous-groupe compact ouvert
K H tel que pour toutes les fonctions
a f
K quand a varie en vérifiant pour toute
racine positive α (cf. ci-dessus) |α(a)| < η, admette un transfert à H invariant
sous K H .
On se rappelle que le côté droit de (2) n’a alors plus qu’un nombre fini de
représentations qui ont une trace non nulle sur les fonctions
a f
KH
H
(on a fixé le
caractère infinitésimal et la fonction aux places autres que v). On s’est donc ramené
à une situation finie où on peut faire tendre a ∈ A ˜
M0 vers l’infini. Cela permet
de comparer les modules de Jacquet associés à ces représentations évaluées en les
fonctions que l’on vient de définir. A droite, on ne voit pas l’exposant λ 0 puisque
cet exposant est au plus unitaire et comme il est à gauche, on a une contradiction
qui prouve que tr ˜
Π par (f v ) = 0.
Toute représentation elliptique ˜
π de ˜
G 0 se transfère sur les elliptiques (cf. XI.4
les explications qui suivent l’énoncé) ce qui veut dire qu’il existe une combinaison
linéaire finie,
H,˜ πH,st c(˜ π, ˜
π H,st )˜ π H,st de représentations elliptiques stables avec
la bonne propriété de variance sous le groupe d’automorphismes, où ˜
π H,st parcourt
une base des représentations elliptiques stables (cf. ci-dessus) telle que pour toute
fonction cuspidale f on ait l’égalité :
˜
π(f ) =
H,˜ πH,st
c(˜ π, ˜
π H,st )˜ π H,st (f
H ).
On rappelle que les représentations que l’on considère ont un caractère sous l’action de A ˜
G0 que l’on a fixé. On prend pour base des représentations elliptiques
stables quand H varie, l’image de la base de I cusp ( ˜
G 0 , ω 0 ) engendrée par les pseudo
coefficients des représentations elliptiques simples de ˜
G 0 (c’est-à-dire associées à
un triplet elliptique en [81] 7.2).
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(8) et si g ∈ ˜
M 0 est un élément semi-simple régulier de ˜
M 0 appartenant au
support de
a f M0 , alors I(g, ω,
a f
K
M0 ) = I
˜
M0 (g, ω,
a f M0 ).
On fixe f M0 , K et η.
On fixe M H une donnée endoscopique elliptique de ˜
M 0 incluse dans H. On
note f
MH
M0 un transfert de f M0 à cette donnée. Pour toute donnée endoscopique
elliptique H de ˜
G 0 contenant M H , on fixe K H , η H tel que l’on puisse faire la
construction précédente dans H en partant de cette fonction ; on note alors
a f
KH
H
le résultat, ici on a encore a ∈ A ˜
M0 = A MH par ellipticité. On a fixé toutes les
données et on considère η 1 suffisamment petit pour que les toutes les fonctions
associées aux élements a ∈ A ˜
M0 tel que |α(a)| < η
(pour α comme ci-dessus)
soient définies. Avec les propriétés (7) et (8) ci-dessus appliquées à
a f
K et
a f
KH
H ,
on voit que la deuxième fonction est un transfert de la première pour les intégrales
orbitales correspondant à des éléments de ˜
G 0 stablement conjugués d’un élément
de ˜
M 0 se transférant en une classe de conjugaison stable de M H . En sommant sur
tous les choix de M H (à équivalence près) on construit ainsi les transferts non nuls
des fonctions
a f
K . On a ainsi vérifié qu’il existe η suffisamment petit tel que pour
toute donnée endoscopique elliptique H de ˜
G 0 , ω 0 , un sous-groupe compact ouvert
K H tel que pour toutes les fonctions
a f
K quand a varie en vérifiant pour toute
racine positive α (cf. ci-dessus) |α(a)| < η, admette un transfert à H invariant
sous K H .
On se rappelle que le côté droit de (2) n’a alors plus qu’un nombre fini de
représentations qui ont une trace non nulle sur les fonctions
a f
KH
H
(on a fixé le
caractère infinitésimal et la fonction aux places autres que v). On s’est donc ramené
à une situation finie où on peut faire tendre a ∈ A ˜
M0 vers l’infini. Cela permet
de comparer les modules de Jacquet associés à ces représentations évaluées en les
fonctions que l’on vient de définir. A droite, on ne voit pas l’exposant λ 0 puisque
cet exposant est au plus unitaire et comme il est à gauche, on a une contradiction
qui prouve que tr ˜
Π par (f v ) = 0.
Toute représentation elliptique ˜
π de ˜
G 0 se transfère sur les elliptiques (cf. XI.4
les explications qui suivent l’énoncé) ce qui veut dire qu’il existe une combinaison
linéaire finie,
H,˜ πH,st c(˜ π, ˜
π H,st )˜ π H,st de représentations elliptiques stables avec
la bonne propriété de variance sous le groupe d’automorphismes, où ˜
π H,st parcourt
une base des représentations elliptiques stables (cf. ci-dessus) telle que pour toute
fonction cuspidale f on ait l’égalité :
˜
π(f ) =
H,˜ πH,st
c(˜ π, ˜
π H,st )˜ π H,st (f
H ).
On rappelle que les représentations que l’on considère ont un caractère sous l’action de A ˜
G0 que l’on a fixé. On prend pour base des représentations elliptiques
stables quand H varie, l’image de la base de I cusp ( ˜
G 0 , ω 0 ) engendrée par les pseudo
coefficients des représentations elliptiques simples de ˜
G 0 (c’est-à-dire associées à
un triplet elliptique en [81] 7.2).