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Chapitre XI. Appendice
˜
M 0 : ˜
σ 0 ⊗ λ 0 intervient de la même façon dans ˜
Π par,M0 et dans la représentation
˜
M
˜
W M 0 \ ˜
W M λ 0 / ˜
W M
Ind
˜
M0
w( ˜
M)∩ ˜
M0
w((˜ σ[ ˜
M, λ 0 ] ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u ),
où ˜
M parcourt les espaces de Levi intervenant dans la composante de (3) indexée
par λ 0 . Puisqu’une représentation σ[ ˜
M , λ 0 ] est elliptique, on a vu en XI.2.6 que
(˜ σ[ ˜
M, λ 0 ] ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u est nul sauf si M ⊂ w
−1 (M 0 ). Puisqu’on a supposé
˜
M 0 minimal, cela entraîne ˜
M = ˜
M 0 puis (˜ σ[ ˜
M , λ 0 ] ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u = ˜
σ 0 ⊗ λ 0 .
Il ne reste dans la représentation ci-dessus que la somme des w(˜ σ 0 ⊗ λ 0 ) sur les
w ∈ ˜
W
M0
\ ˜
W
M
λ 0 / ˜
W
M0 . Puisqu’on a aussi supposé ˜
σ 0 invariante par ˜
W
M
λ 0 , on
obtient ˜
σ 0 ⊗ λ 0 multiplié par le nombre des w. Cela prouve (4).
Donc le module de Jacquet de Π par calculé suivant l’espace parabolique standard d’espace de Levi ˜
M 0 a une composante de trace tordue non nulle avec un
exposant λ 0 . On peut encore ajouter le module de Jacquet de la partie elliptique
correspondant à ˜
G sans perdre la non nullité : en effet, cette contribution à l’exposant λ 0 nécessite que celui-ci soit nul mais même dans ce cas, grâce à XI.2.3, la
contribution est de trace tordue nulle.
Pour terminer la preuve, on voudrait que le module de Jacquet du côté gauche
de (2) soit un transfert d’un module de Jacquet pour le membre de droite de (2) ;
le côté droit n’a que des représentations elliptiques dont les modules de Jacquet
propres sont de traces nulles dans la λ 0 composante pour la même raison que
ci-dessus et cela donnerait la contradiction montrant que la trace tordue de ˜
Π par
annule toutes les fonctions sur ˜
G 0 . Le problème est que le membre de droite
est a priori une somme infinie qui ne devient finie que quand on fixe f v et pas
seulement un K-type selon lequel f v se transforme. On ne peut donc pas comparer
les modules ; pour pouvoir les comparer, il faut avoir une égalité de la forme
tr ˜
σ(f v ) =
H tr ˜
σ H,st (f
H
v ) avec des représentations de longueur finie, définie
indépendamment de f v , f v variant dans une famille de fonctions, famille stable
par translations à gauche sous a ∈ A ˜
M0 au moins pour a vérifiant |α(a)| < η (où
η ∈ R >0 est fixé) pour tout α racine positive de l’espace parabolique standard de
Levi M 0 . Grâce à Labesse [50], on peut le faire en introduisant comme en [78] 4.2
la famille de fonctions suivantes : soit f M0 ∈ C
∞
c ( ˜
M 0 ) et K un groupe compact
ouvert de G 0 que l’on suppose suffisamment petit. Alors il existe η > 0 de sorte
que pour tout a ∈ A ˜
M0 vérifiant comme ci-dessus |α(a)| < η pour toute racine
de A ˜
M0 agissant dans le radical unipotent de P il existe une fonction
a f
K sur ˜
G 0
vérifiant :
(6)
a f
K est K-invariante à droite sous K
(7) si g ∈ ˜
G 0 est un élément semi-simple régulier non conjugué du support de
a f M0 (fonction obtenue en translatant f M0 à gauche par a), alors
I(g, ω,
a f
K
M0 ) = 0.
Chapitre XI. Appendice
˜
M 0 : ˜
σ 0 ⊗ λ 0 intervient de la même façon dans ˜
Π par,M0 et dans la représentation
˜
M
˜
W M 0 \ ˜
W M λ 0 / ˜
W M
Ind
˜
M0
w( ˜
M)∩ ˜
M0
w((˜ σ[ ˜
M, λ 0 ] ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u ),
où ˜
M parcourt les espaces de Levi intervenant dans la composante de (3) indexée
par λ 0 . Puisqu’une représentation σ[ ˜
M , λ 0 ] est elliptique, on a vu en XI.2.6 que
(˜ σ[ ˜
M, λ 0 ] ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u est nul sauf si M ⊂ w
−1 (M 0 ). Puisqu’on a supposé
˜
M 0 minimal, cela entraîne ˜
M = ˜
M 0 puis (˜ σ[ ˜
M , λ 0 ] ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u = ˜
σ 0 ⊗ λ 0 .
Il ne reste dans la représentation ci-dessus que la somme des w(˜ σ 0 ⊗ λ 0 ) sur les
w ∈ ˜
W
M0
\ ˜
W
M
λ 0 / ˜
W
M0 . Puisqu’on a aussi supposé ˜
σ 0 invariante par ˜
W
M
λ 0 , on
obtient ˜
σ 0 ⊗ λ 0 multiplié par le nombre des w. Cela prouve (4).
Donc le module de Jacquet de Π par calculé suivant l’espace parabolique standard d’espace de Levi ˜
M 0 a une composante de trace tordue non nulle avec un
exposant λ 0 . On peut encore ajouter le module de Jacquet de la partie elliptique
correspondant à ˜
G sans perdre la non nullité : en effet, cette contribution à l’exposant λ 0 nécessite que celui-ci soit nul mais même dans ce cas, grâce à XI.2.3, la
contribution est de trace tordue nulle.
Pour terminer la preuve, on voudrait que le module de Jacquet du côté gauche
de (2) soit un transfert d’un module de Jacquet pour le membre de droite de (2) ;
le côté droit n’a que des représentations elliptiques dont les modules de Jacquet
propres sont de traces nulles dans la λ 0 composante pour la même raison que
ci-dessus et cela donnerait la contradiction montrant que la trace tordue de ˜
Π par
annule toutes les fonctions sur ˜
G 0 . Le problème est que le membre de droite
est a priori une somme infinie qui ne devient finie que quand on fixe f v et pas
seulement un K-type selon lequel f v se transforme. On ne peut donc pas comparer
les modules ; pour pouvoir les comparer, il faut avoir une égalité de la forme
tr ˜
σ(f v ) =
H tr ˜
σ H,st (f
H
v ) avec des représentations de longueur finie, définie
indépendamment de f v , f v variant dans une famille de fonctions, famille stable
par translations à gauche sous a ∈ A ˜
M0 au moins pour a vérifiant |α(a)| < η (où
η ∈ R >0 est fixé) pour tout α racine positive de l’espace parabolique standard de
Levi M 0 . Grâce à Labesse [50], on peut le faire en introduisant comme en [78] 4.2
la famille de fonctions suivantes : soit f M0 ∈ C
∞
c ( ˜
M 0 ) et K un groupe compact
ouvert de G 0 que l’on suppose suffisamment petit. Alors il existe η > 0 de sorte
que pour tout a ∈ A ˜
M0 vérifiant comme ci-dessus |α(a)| < η pour toute racine
de A ˜
M0 agissant dans le radical unipotent de P il existe une fonction
a f
K sur ˜
G 0
vérifiant :
(6)
a f
K est K-invariante à droite sous K
(7) si g ∈ ˜
G 0 est un élément semi-simple régulier non conjugué du support de
a f M0 (fonction obtenue en translatant f M0 à gauche par a), alors
I(g, ω,
a f
K
M0 ) = 0.