XI.4. Représentations elliptiques comme transfert
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Précisément, on identifie ˜
W
M0
\ ˜
W
G0 / ˜
W
M à l’ensemble des éléments de W
˜
G0 de
longueur minimale dans leur double classe. Supposons que l’induite ci-dessus indexée par w possède une composante commune avec ˜
σ 0 ⊗ λ 0 . A fortiori, il en est
de même des représentations de M 0 sous-jacentes. Il existe donc un groupe de
Levi standard M 0,cusp ⊂ M 0 (non tordu) et une composante cuspidale irréductible
commune dans les modules de Jacquet relatifs à M 0,cusp de Ind w(M)∩M0 w((σ ⊗
λ) M∩w −1 (M0) ) et de σ 0 ⊗ λ 0 . Calculons la partie réelle λ 0,cusp de l’exposant d’une
telle composante. Puisque σ 0 est tempérée, la partie réelle d’un exposant cuspidal
de σ 0 appartient à
+ ¯
C ∩A
M0,∗
M0,cusp . Donc λ 0,cusp = λ 0 + μ 0 , avec μ 0 ∈
+ ¯
C ∩A
M0,∗
M0,cusp .
Le module de Jacquet relatif à M 0,cusp de Ind w(M)∩M w((σ ⊗ λ) M∩w −1 (M0) ) se
calcule grâce à la formule de Bernstein–Zelevinsky. On obtient qu’il existe un
élément v ∈ W
M0,cusp
\W
M0 (identifié à un élément de W
M0 de longueur minimale dans sa classe) tel que v
−1 (M 0,cusp ) ⊂ M 0 ∩ w(M ) et il existe un exposant cuspidal λ 1,cusp de w((σ ⊗ λ) M∩w −1 (M0) relatif à v
−1 (M 0,cusp ) de sorte que
λ 0,cusp = v(λ 1,cusp ). Ou encore il existe un exposant cuspidal λ cusp de σ ⊗ λ relatif
à M cusp = w
−1 v
−1 (M 0,cusp ) tel que λ 0,cusp = vw(λ cusp ). Comme ci-dessus, parce
que σ est tempérée, on a λ cusp = λ+μ, où μ ∈ A
M,∗
Mcusp ∩
+ ¯
C. On obtient les égalités
(5)
λ 0,cusp = λ 0 + μ 0 = vw(λ) + vw(μ).
Puisque λ ∈ − ¯
C
+ , il est bien connu que vw(λ)− λ appartient à
+ ¯
C. Les propriétés
de minimalité de w et v et le fait que μ appartient à A
M,∗
Mcusp ∩
+ ¯
C entraînent que
vw(μ) appartient à
+ ¯
C. Ainsi λ 0,cusp = λ + (vw(λ) − λ) + vw(μ), le premier terme
appartient à − ¯
C
+ et les deux derniers termes appartiennent à
+ ¯
C. La relation
(5) dit que λ 0 est la projection orthogonale de λ 0,cusp sur A
∗
M0 . Une propriété
géométrique familière des systèmes de racines entraîne, sous ces conditions, que
λ ≤ λ 0 . Or λ 0 a été choisi minimal. Donc λ = λ 0 . L’égalité (5) se récrit (vw(λ 0 ) −
λ 0 )+vw(μ) = μ 0 . Les deux premiers termes sont des sommes à coefficients positifs
ou nuls de racines positives. Leur somme μ 0 appartient à A
M0,∗ , donc ne peut
contenir que des racines dans M 0 . Il en résulte que chaque terme vw(λ 0 ) − λ 0 et
vw(μ) ne contient que des racines dans M 0 , autrement dit appartient à A
M0,∗ .
Puisque v ∈ W
M0 conserve cet espace et fixe λ 0 , on en déduit que w(λ 0 ) − λ 0
et w(μ) appartiennent à A
M0,∗ . Ecrivons w(λ 0 ) = λ 0 + ν avec ν ∈ A
M0,∗ . Cette
décomposition est orthogonale puisque λ 0 ∈ A
∗
M0 . Puisque w(λ 0 ) et λ 0 sont de
même norme, on obtient ν = 0. D’où w(λ 0 ) = λ 0 , ce qui implique w ∈ ˜
W
M
λ 0 . La
deuxième relation w(μ) ∈ A
M0,∗ et le fait que μ appartient à A
M,∗
Mcusp entraînent que
μ appartient à A
M∩w
−1 (M0),∗ . On se rappelle que λ cusp est un exposant cuspidal
de σ ⊗ λ 0 relatif à M cusp et donc aussi un exposant cuspidal de (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0)
relatif à M cusp . La propriété précédente signifie que c’est en fait un exposant
cuspidal du module de Jacquet unitaire (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u . A ce point, on a
éliminé les λ = λ 0 et les w qui n’appartiennent pas à ˜
W
M
λ 0 et on a montré que
l’on pouvait remplacer les modules de Jacquet (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0) par leur partie
unitaire (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u . On peut maintenant rétablir l’action de l’espace
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Précisément, on identifie ˜
W
M0
\ ˜
W
G0 / ˜
W
M à l’ensemble des éléments de W
˜
G0 de
longueur minimale dans leur double classe. Supposons que l’induite ci-dessus indexée par w possède une composante commune avec ˜
σ 0 ⊗ λ 0 . A fortiori, il en est
de même des représentations de M 0 sous-jacentes. Il existe donc un groupe de
Levi standard M 0,cusp ⊂ M 0 (non tordu) et une composante cuspidale irréductible
commune dans les modules de Jacquet relatifs à M 0,cusp de Ind w(M)∩M0 w((σ ⊗
λ) M∩w −1 (M0) ) et de σ 0 ⊗ λ 0 . Calculons la partie réelle λ 0,cusp de l’exposant d’une
telle composante. Puisque σ 0 est tempérée, la partie réelle d’un exposant cuspidal
de σ 0 appartient à
+ ¯
C ∩A
M0,∗
M0,cusp . Donc λ 0,cusp = λ 0 + μ 0 , avec μ 0 ∈
+ ¯
C ∩A
M0,∗
M0,cusp .
Le module de Jacquet relatif à M 0,cusp de Ind w(M)∩M w((σ ⊗ λ) M∩w −1 (M0) ) se
calcule grâce à la formule de Bernstein–Zelevinsky. On obtient qu’il existe un
élément v ∈ W
M0,cusp
\W
M0 (identifié à un élément de W
M0 de longueur minimale dans sa classe) tel que v
−1 (M 0,cusp ) ⊂ M 0 ∩ w(M ) et il existe un exposant cuspidal λ 1,cusp de w((σ ⊗ λ) M∩w −1 (M0) relatif à v
−1 (M 0,cusp ) de sorte que
λ 0,cusp = v(λ 1,cusp ). Ou encore il existe un exposant cuspidal λ cusp de σ ⊗ λ relatif
à M cusp = w
−1 v
−1 (M 0,cusp ) tel que λ 0,cusp = vw(λ cusp ). Comme ci-dessus, parce
que σ est tempérée, on a λ cusp = λ+μ, où μ ∈ A
M,∗
Mcusp ∩
+ ¯
C. On obtient les égalités
(5)
λ 0,cusp = λ 0 + μ 0 = vw(λ) + vw(μ).
Puisque λ ∈ − ¯
C
+ , il est bien connu que vw(λ)− λ appartient à
+ ¯
C. Les propriétés
de minimalité de w et v et le fait que μ appartient à A
M,∗
Mcusp ∩
+ ¯
C entraînent que
vw(μ) appartient à
+ ¯
C. Ainsi λ 0,cusp = λ + (vw(λ) − λ) + vw(μ), le premier terme
appartient à − ¯
C
+ et les deux derniers termes appartiennent à
+ ¯
C. La relation
(5) dit que λ 0 est la projection orthogonale de λ 0,cusp sur A
∗
M0 . Une propriété
géométrique familière des systèmes de racines entraîne, sous ces conditions, que
λ ≤ λ 0 . Or λ 0 a été choisi minimal. Donc λ = λ 0 . L’égalité (5) se récrit (vw(λ 0 ) −
λ 0 )+vw(μ) = μ 0 . Les deux premiers termes sont des sommes à coefficients positifs
ou nuls de racines positives. Leur somme μ 0 appartient à A
M0,∗ , donc ne peut
contenir que des racines dans M 0 . Il en résulte que chaque terme vw(λ 0 ) − λ 0 et
vw(μ) ne contient que des racines dans M 0 , autrement dit appartient à A
M0,∗ .
Puisque v ∈ W
M0 conserve cet espace et fixe λ 0 , on en déduit que w(λ 0 ) − λ 0
et w(μ) appartiennent à A
M0,∗ . Ecrivons w(λ 0 ) = λ 0 + ν avec ν ∈ A
M0,∗ . Cette
décomposition est orthogonale puisque λ 0 ∈ A
∗
M0 . Puisque w(λ 0 ) et λ 0 sont de
même norme, on obtient ν = 0. D’où w(λ 0 ) = λ 0 , ce qui implique w ∈ ˜
W
M
λ 0 . La
deuxième relation w(μ) ∈ A
M0,∗ et le fait que μ appartient à A
M,∗
Mcusp entraînent que
μ appartient à A
M∩w
−1 (M0),∗ . On se rappelle que λ cusp est un exposant cuspidal
de σ ⊗ λ 0 relatif à M cusp et donc aussi un exposant cuspidal de (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0)
relatif à M cusp . La propriété précédente signifie que c’est en fait un exposant
cuspidal du module de Jacquet unitaire (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u . A ce point, on a
éliminé les λ = λ 0 et les w qui n’appartiennent pas à ˜
W
M
λ 0 et on a montré que
l’on pouvait remplacer les modules de Jacquet (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0) par leur partie
unitaire (σ ⊗ λ 0 ) M∩w −1 (M0),u . On peut maintenant rétablir l’action de l’espace