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Chapitre XI. Appendice
D’où aussi des chambres de Weyl positives aiguë et obtuse ouvertes C
+ et
+ C
dans A
∗
min = A
∗
Mmin , dont on note ¯
C
+ et
+ ¯
C les adhérences. On munit A
∗
min de
l’ordre partiel λ ≤ μ si et seulement si μ − λ ∈
+ ¯
C. D’autre part, de ˜
M min se
déduit un automorphisme θ de A
∗
min et A
∗
˜
Mmin
est le sous-espace des éléments
invariants par θ. On décompose ˜
Π par selon les supports cuspidaux des représentations qui interviennent. Dans chaque composante, il n’y a plus qu’un nombre
fini de représentations. Fixons un tel support cuspidal et considérons la composante correspondante de ˜
Π par . C’est une somme finie d’induites de représentations
˜
σ ⊗ λ d’espaces de Levi ˜
M de ˜
G 0 , où ˜
σ est une représentation elliptique de ˜
M
et λ ∈ A
∗
˜
M
. Quitte à conjuguer ˜
M , on peut supposer que ˜
M est standard et que
λ ∈ −( ¯
C
+ )
θ .
On peut donc écrire la composante en question de ˜
Π par sous la forme
(3)
λ∈Λ
˜
M
Ind
˜
G0
˜
M
(˜ σ[ ˜
M, λ] ⊗ λ),
où Λ est un sous-ensemble fini de (− ¯
C
+ )
θ , ˜
M parcourt les Levi standard et ˜
σ[ ˜
M , λ]
est une représentation elliptique de ˜
M . Pour simplifier, on a noté Ind
˜
G0
˜
M
l’induction
de ˜
P M à ˜
G 0 où ˜
P M est l’espace de Levi standard d’espace de Levi ˜
M . D’autre
part, il est entendu que, λ étant fixé, il n’intervient dans la somme intérieure
que des espaces ˜
M tels que λ ∈ A
∗
˜
M
. Pour tout λ, notons M
λ le plus grand
sous-groupe de Levi standard M
tel que λ appartienne à A M . Parce que λ est
invariant par θ, M
λ l’est aussi et il lui est associé un espace de Levi standard ˜
M
λ .
Ainsi, les espaces de Levi ˜
M intervenant dans la sous-somme de (3) indexée par λ
sont contenus dans ˜
M
λ . On peut faire agir librement le groupe ˜
W
M
λ à l’intérieur
de cette sous-somme. On peut donc supposer que, dans cette sous-somme, deux
espaces de Levi intervenant ne sont conjugués par un élément de ce groupe ˜
W
M
λ
que s’ils sont égaux et aussi que chaque ˜
σ[ ˜
M, λ] est fixe par le stabilisateur de ˜
M
dans ce groupe. Supposons que (3) n’est pas nul. On fixe λ 0 minimal parmi les
éléments de Λ intervenant vraiment dans la somme, puis un espace ˜
M 0 minimal
parmi ceux qui interviennent vraiment dans la sous-somme indexée par λ (au sens
que ˜
M 0 ne contient pas strictement un conjugué d’un autre tel espace de Levi).
On pose pour simplifier ˜
σ 0 = ˜
σ[ ˜
M 0 , λ 0 ]. On va montrer que
(4) ˜
σ 0 ⊗ λ 0 intervient de façon non nulle dans le module de Jacquet ˜
Π par,M0 .
Puisque ce module de Jacquet se décompose selon les différents supports
cuspidaux, on peut ici remplacer ˜
Π par par sa composante (3) selon le support cuspidal fixé. Considérons une composante Ind
˜
G0
˜
M
(˜ σ[ ˜
M, λ] ⊗ λ) intervenant dans (3).
Posons pour simplifier ˜
σ = ˜
σ( ˜
M , λ]. Le module de Jacquet tordu relatif à ˜
M 0 de
l’induite ci-dessus se calcule grâce à la formule de Bernstein–Zelevinsky généralisée au cas tordu par Henniart et Lemaire [42] 2.10. On obtient la somme sur w ∈
˜
W
M0
\ ˜
W
G0 / ˜
W
M des représentations induites Ind w( ˜
M)∩ ˜
M0 w((˜ σ ⊗ λ) M∩w −1 (M0) ).
Chapitre XI. Appendice
D’où aussi des chambres de Weyl positives aiguë et obtuse ouvertes C
+ et
+ C
dans A
∗
min = A
∗
Mmin , dont on note ¯
C
+ et
+ ¯
C les adhérences. On munit A
∗
min de
l’ordre partiel λ ≤ μ si et seulement si μ − λ ∈
+ ¯
C. D’autre part, de ˜
M min se
déduit un automorphisme θ de A
∗
min et A
∗
˜
Mmin
est le sous-espace des éléments
invariants par θ. On décompose ˜
Π par selon les supports cuspidaux des représentations qui interviennent. Dans chaque composante, il n’y a plus qu’un nombre
fini de représentations. Fixons un tel support cuspidal et considérons la composante correspondante de ˜
Π par . C’est une somme finie d’induites de représentations
˜
σ ⊗ λ d’espaces de Levi ˜
M de ˜
G 0 , où ˜
σ est une représentation elliptique de ˜
M
et λ ∈ A
∗
˜
M
. Quitte à conjuguer ˜
M , on peut supposer que ˜
M est standard et que
λ ∈ −( ¯
C
+ )
θ .
On peut donc écrire la composante en question de ˜
Π par sous la forme
(3)
λ∈Λ
˜
M
Ind
˜
G0
˜
M
(˜ σ[ ˜
M, λ] ⊗ λ),
où Λ est un sous-ensemble fini de (− ¯
C
+ )
θ , ˜
M parcourt les Levi standard et ˜
σ[ ˜
M , λ]
est une représentation elliptique de ˜
M . Pour simplifier, on a noté Ind
˜
G0
˜
M
l’induction
de ˜
P M à ˜
G 0 où ˜
P M est l’espace de Levi standard d’espace de Levi ˜
M . D’autre
part, il est entendu que, λ étant fixé, il n’intervient dans la somme intérieure
que des espaces ˜
M tels que λ ∈ A
∗
˜
M
. Pour tout λ, notons M
λ le plus grand
sous-groupe de Levi standard M
tel que λ appartienne à A M . Parce que λ est
invariant par θ, M
λ l’est aussi et il lui est associé un espace de Levi standard ˜
M
λ .
Ainsi, les espaces de Levi ˜
M intervenant dans la sous-somme de (3) indexée par λ
sont contenus dans ˜
M
λ . On peut faire agir librement le groupe ˜
W
M
λ à l’intérieur
de cette sous-somme. On peut donc supposer que, dans cette sous-somme, deux
espaces de Levi intervenant ne sont conjugués par un élément de ce groupe ˜
W
M
λ
que s’ils sont égaux et aussi que chaque ˜
σ[ ˜
M, λ] est fixe par le stabilisateur de ˜
M
dans ce groupe. Supposons que (3) n’est pas nul. On fixe λ 0 minimal parmi les
éléments de Λ intervenant vraiment dans la somme, puis un espace ˜
M 0 minimal
parmi ceux qui interviennent vraiment dans la sous-somme indexée par λ (au sens
que ˜
M 0 ne contient pas strictement un conjugué d’un autre tel espace de Levi).
On pose pour simplifier ˜
σ 0 = ˜
σ[ ˜
M 0 , λ 0 ]. On va montrer que
(4) ˜
σ 0 ⊗ λ 0 intervient de façon non nulle dans le module de Jacquet ˜
Π par,M0 .
Puisque ce module de Jacquet se décompose selon les différents supports
cuspidaux, on peut ici remplacer ˜
Π par par sa composante (3) selon le support cuspidal fixé. Considérons une composante Ind
˜
G0
˜
M
(˜ σ[ ˜
M, λ] ⊗ λ) intervenant dans (3).
Posons pour simplifier ˜
σ = ˜
σ( ˜
M , λ]. Le module de Jacquet tordu relatif à ˜
M 0 de
l’induite ci-dessus se calcule grâce à la formule de Bernstein–Zelevinsky généralisée au cas tordu par Henniart et Lemaire [42] 2.10. On obtient la somme sur w ∈
˜
W
M0
\ ˜
W
G0 / ˜
W
M des représentations induites Ind w( ˜
M)∩ ˜
M0 w((˜ σ ⊗ λ) M∩w −1 (M0) ).