XI.4. Représentations elliptiques comme transfert
1277
On développe les distributions obtenues à ν fixé pour séparer la partie elliptique en v (c’est-à-dire les traces sur les représentations elliptiques de ˜
G(F v )) de
la partie parabolique en v. Ce qui nous intéresse est la distribution :
f → I ν ( ˙
f
v f ),
où ˙
f
v est fixé, dans le groupe de Grothendieck de G, ˜
G et plus précisément sur la
base obtenue à l’aide des induites de représentations elliptiques :
(1)
I ν ( ˙
f
v f ) =
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)˜ π(f ) ⊕
˜
σ,induite
I ν ( ˙
f
v , ˜
σ)˜ σ(f ).
On décompose aussi le côté droit de (∗) : d’abord les données endoscopiques
globales ˜
H qui se localisent en un groupe endoscopique non elliptique en la place v
fournissent une combinaison linéaire stable de représentations qui se transfèrent en
des représentations nécessairement induites. On ne considère donc que les données
endoscopiques globales qui se localisent en la place v en une donnée endoscopique
elliptique locale. On a alors à transférer des distributions stables écrites comme
dans XI.3.1 comme une somme d’induites de représentations stables.
On ne transfère pour le moment que celles qui sont des induites propres. Si
l’induite se fait à partir d’un sous-groupe de Levi qui ne se transfère pas à ˜
G la
contribution de ce sous-groupe de Levi qui est une trace d’un transfert de f est
nécessairement nulle sur ce transfert de f . Par récurrence sur les dimensions des
espaces, pour les Levi qui se transfèrent on peut transférer les représentations en
des représentations induites et on le fait.
Ainsi du côté droit de (∗), il ne reste que des représentations elliptiques
en la place fixée et du côté gauche, on a d’une part la partie elliptique écrite
en (1) que l’on n’a pas modifiée et une combinaison linéaire d’induites propres
de représentations elliptiques. On va montrer que cette combinaison linéaire est
nécessairement nulle. Récapitulons d’abord les notations, ici on fixe f
v et on note
˜
Π par la combinaison linéaire telle que pour toute fonction f v on ait
(2)
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)˜ π(f v ) ⊕ tr ˜
Π par (f v )
=
˜
H,˜ πH,st
S ν ( ˙
f
v,H , ˜
π H,st ) tr ˜
π H,st (f
H ),
où H parcourt les sous-groupes endoscopiques elliptiques de G 0 , ω 0 (locaux) et
où ˜
π H,st parcourt une base des représentations elliptiques stables de H. Et on va
démontrer que tr ˜
Π par (f v ) = 0 pour tout f v .
Fixons un sous-espace parabolique minimal ˜
P min , d’espace de Levi ˜
M min .
D’où les groupes de Weyl
W
G0 = Norm G0 (M min )/M min et ˜
W
G0 = Norm G0 ( ˜
M min )/M min .
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On développe les distributions obtenues à ν fixé pour séparer la partie elliptique en v (c’est-à-dire les traces sur les représentations elliptiques de ˜
G(F v )) de
la partie parabolique en v. Ce qui nous intéresse est la distribution :
f → I ν ( ˙
f
v f ),
où ˙
f
v est fixé, dans le groupe de Grothendieck de G, ˜
G et plus précisément sur la
base obtenue à l’aide des induites de représentations elliptiques :
(1)
I ν ( ˙
f
v f ) =
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)˜ π(f ) ⊕
˜
σ,induite
I ν ( ˙
f
v , ˜
σ)˜ σ(f ).
On décompose aussi le côté droit de (∗) : d’abord les données endoscopiques
globales ˜
H qui se localisent en un groupe endoscopique non elliptique en la place v
fournissent une combinaison linéaire stable de représentations qui se transfèrent en
des représentations nécessairement induites. On ne considère donc que les données
endoscopiques globales qui se localisent en la place v en une donnée endoscopique
elliptique locale. On a alors à transférer des distributions stables écrites comme
dans XI.3.1 comme une somme d’induites de représentations stables.
On ne transfère pour le moment que celles qui sont des induites propres. Si
l’induite se fait à partir d’un sous-groupe de Levi qui ne se transfère pas à ˜
G la
contribution de ce sous-groupe de Levi qui est une trace d’un transfert de f est
nécessairement nulle sur ce transfert de f . Par récurrence sur les dimensions des
espaces, pour les Levi qui se transfèrent on peut transférer les représentations en
des représentations induites et on le fait.
Ainsi du côté droit de (∗), il ne reste que des représentations elliptiques
en la place fixée et du côté gauche, on a d’une part la partie elliptique écrite
en (1) que l’on n’a pas modifiée et une combinaison linéaire d’induites propres
de représentations elliptiques. On va montrer que cette combinaison linéaire est
nécessairement nulle. Récapitulons d’abord les notations, ici on fixe f
v et on note
˜
Π par la combinaison linéaire telle que pour toute fonction f v on ait
(2)
˜
π,elliptique
I ν ( ˙
f
v , ˜
π)˜ π(f v ) ⊕ tr ˜
Π par (f v )
=
˜
H,˜ πH,st
S ν ( ˙
f
v,H , ˜
π H,st ) tr ˜
π H,st (f
H ),
où H parcourt les sous-groupes endoscopiques elliptiques de G 0 , ω 0 (locaux) et
où ˜
π H,st parcourt une base des représentations elliptiques stables de H. Et on va
démontrer que tr ˜
Π par (f v ) = 0 pour tout f v .
Fixons un sous-espace parabolique minimal ˜
P min , d’espace de Levi ˜
M min .
D’où les groupes de Weyl
W
G0 = Norm G0 (M min )/M min et ˜
W
G0 = Norm G0 ( ˜
M min )/M min .