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Chapitre XI. Appendice
sont invariantes sous A ˜
G qui est le A
θ
G de [48] début du paragraphe 6. On a donc
une formule des traces simples, dont la partie géométrique se stabilise grâce à
[48] 6.4.C et [50] V.4.2 : pour tout ˙
f
v
∈ ˜
H
v et pour tout f dans l’algèbre de
Hecke de ˜
G 0 :
(∗)
I( ˙
f
v f ) =
˜
H
i( ˜
G, ˜
H)S
˜
H ( ˙
f
v,H f
H ),
où à droite on a des distributions stables appliquées à des fonctions transfert de
˙
f
v f ce qui est la formulation de [50] plutôt que celle de [48].
Comme dans [13] 8.1 cette égalité se coupe à l’aide des multiplicateurs ; ceci
est possible car toutes les fonctions apparaissant aux places archimédiennes sont
K-finies, on utilise donc [IV] 3.4. Pour le lecteur qui ne veut pas utiliser cette
référence qui utilise elle-même la première partie de ce chapitre, on peut aussi
supposer que les places archimédiennes sont toutes des places complexes où la
situation est bien plus simple.
On fixe V un ensemble de places suffisamment grand et on ne regarde que
les fonctions qui hors de V sont les fonctions caractéristiques des compacts hyperspéciaux.
On fixe ν un caractère infinitésimal qui apparaît pour une représentation unitaire de G(F ∞ ). Il n’est pas difficile de définir a priori I ν ( ˙
f
v f ) : cette distribution,
grâce à la formule des traces simple se décompose en une somme de distributions
qui sont des traces pour des représentations automorphes de carré intégrable de
˜
G(A) et on ne garde que celles dont le caractère infinitésimal est ν.
C’est plus compliqué pour les termes du côté droit puisqu’on n’a pas (pour le
moment) de stabilisation spectrale. On procède ainsi : on vérifie d’abord que pour
˜
H une donnée endoscopique elliptique fixé, la distribution qui à f H ∈ I simp ( ˜
H) (où
˜
H représente une donnée auxiliaire pour la donnée endoscopique) associe S
˜
H (f H )
est une somme de caractères stables dans V (finie quand les K H -types de f H
sont fixés dans V ) ; l’indice simp signifie que l’on ne regarde que des fonctions
cuspidales en au moins deux places de V et à support dans les éléments semisimples réguliers. Cela se montre par récurrence en considérant cette distribution
comme la différence du côté géométrique de la formule des traces pour ˜
H avec les
transferts pour les données endoscopiques propres de ˜
H ; la stabilité est démontrée
puisque c’est le côté géométrique. Quand on développe en termes de caractères,
on garde la stabilité et le fait que l’on puisse donc développer en une somme de
caractères stables résulte alors de XI.3.1 appliqué dans V . On définit alors S ν (· · · )
en ne gardant que les représentations dont le caractère infinitésimal se transfère
en ν.
En utilisant les multiplicateurs on transforme l’égalité (∗) en son analogue en
ajoutant ν en indice. Ici on utilise la convergence absolue démontrée par Müller
[66] pour la partie discrète de la formule des traces pour pouvoir passer à la limite
comme dans [13] 8.1.
Chapitre XI. Appendice
sont invariantes sous A ˜
G qui est le A
θ
G de [48] début du paragraphe 6. On a donc
une formule des traces simples, dont la partie géométrique se stabilise grâce à
[48] 6.4.C et [50] V.4.2 : pour tout ˙
f
v
∈ ˜
H
v et pour tout f dans l’algèbre de
Hecke de ˜
G 0 :
(∗)
I( ˙
f
v f ) =
˜
H
i( ˜
G, ˜
H)S
˜
H ( ˙
f
v,H f
H ),
où à droite on a des distributions stables appliquées à des fonctions transfert de
˙
f
v f ce qui est la formulation de [50] plutôt que celle de [48].
Comme dans [13] 8.1 cette égalité se coupe à l’aide des multiplicateurs ; ceci
est possible car toutes les fonctions apparaissant aux places archimédiennes sont
K-finies, on utilise donc [IV] 3.4. Pour le lecteur qui ne veut pas utiliser cette
référence qui utilise elle-même la première partie de ce chapitre, on peut aussi
supposer que les places archimédiennes sont toutes des places complexes où la
situation est bien plus simple.
On fixe V un ensemble de places suffisamment grand et on ne regarde que
les fonctions qui hors de V sont les fonctions caractéristiques des compacts hyperspéciaux.
On fixe ν un caractère infinitésimal qui apparaît pour une représentation unitaire de G(F ∞ ). Il n’est pas difficile de définir a priori I ν ( ˙
f
v f ) : cette distribution,
grâce à la formule des traces simple se décompose en une somme de distributions
qui sont des traces pour des représentations automorphes de carré intégrable de
˜
G(A) et on ne garde que celles dont le caractère infinitésimal est ν.
C’est plus compliqué pour les termes du côté droit puisqu’on n’a pas (pour le
moment) de stabilisation spectrale. On procède ainsi : on vérifie d’abord que pour
˜
H une donnée endoscopique elliptique fixé, la distribution qui à f H ∈ I simp ( ˜
H) (où
˜
H représente une donnée auxiliaire pour la donnée endoscopique) associe S
˜
H (f H )
est une somme de caractères stables dans V (finie quand les K H -types de f H
sont fixés dans V ) ; l’indice simp signifie que l’on ne regarde que des fonctions
cuspidales en au moins deux places de V et à support dans les éléments semisimples réguliers. Cela se montre par récurrence en considérant cette distribution
comme la différence du côté géométrique de la formule des traces pour ˜
H avec les
transferts pour les données endoscopiques propres de ˜
H ; la stabilité est démontrée
puisque c’est le côté géométrique. Quand on développe en termes de caractères,
on garde la stabilité et le fait que l’on puisse donc développer en une somme de
caractères stables résulte alors de XI.3.1 appliqué dans V . On définit alors S ν (· · · )
en ne gardant que les représentations dont le caractère infinitésimal se transfère
en ν.
En utilisant les multiplicateurs on transforme l’égalité (∗) en son analogue en
ajoutant ν en indice. Ici on utilise la convergence absolue démontrée par Müller
[66] pour la partie discrète de la formule des traces pour pouvoir passer à la limite
comme dans [13] 8.1.