XI.4. Représentations elliptiques comme transfert
1275
Corollaire. L’expression (2) du paragraphe XI.4 est une somme finie.
En effet on a fixé f 0 avec un caractère central ; cette fonction est K-finie pour
un bon sous-groupe compact ouvert K de G. Il n’y a donc qu’un nombre fini de représentations elliptiques simples (à homothétie près) ayant des vecteurs invariants
sous K et ayant le caractère central fixé, d’après le lemme précédent. Il n’y a qu’un
nombre fini de données endoscopiques elliptiques H pour ˜
G et ω. On en fixe une et
il faut encore montrer que tr ˜
τ H,st (f
H
0 ) = 0 sauf pour un nombre fini de représentations ˜
τ . On décompose f
H
0 suivant le théorème de Paley–Wiener ce qui nécessite de
voir f
H
0 comme un élément de I cusp (H) relevant l’élément bien défini uniquement
dans SI(H). On note f
H
0,cusp la composante elliptique dans cette décomposition et
f
H
0,cusp,st la projection de cette composante elliptique dans SI cusp (H) ; on remarque
que f
H
0 est invariant sous les automorphismes de la donnée endoscopique, on suppose donc comme on a le droit que f
H
0,cusp puis f
H
0,cusp,st ont aussi cette propriété
d’invariance. Alors il existe un élément de I cusp ( ˜
G, ω), noté f
0 , dont le transfert a
même image que f
H
0,cusp,st dans SI cusp (H) (cf. encore [I], 4.11 (i)) et on note K 1 un
sous-groupe compact ouvert de G tel que f
0 soit biinvariante sous K 1 . On a donc
pour toute représentation elliptique ˜
τ de ˜
G : tr ˜
τ H,st (f
H
0 ) = tr ˜
τ H,st (f
H
0,cusp ) car
˜
τ H,st est elliptique, puis cela vaut encore tr ˜
τ H,st (f
H
0,cusp,st ) car la représentation
est stable, puis tr ˜
τ (f
0 ) car ˜
τ H,st est un transfert au moins en les points elliptiques
de ˜
τ . Et ceci est donc nul dès que ˜
τ n’a pas de vecteurs invariants sous K 1 . On
applique alors encore le lemme de finitude précédent pour avoir la nullité cherchée
pour presque toute représentation elliptique ˜
τ avec les hypothèses faites.
XI.4.2 Globalisation et approximation
Ici on note F 0 le corps de base p-adique qui était noté F dans les paragraphes
précédents. Et de même on note G 0 , ˜
G 0 , ω 0 les données notées G, ˜
G, ω jusquà
présent. Soit φ 0 ∈ I cusp ( ˜
G 0 , ω 0 ) ; le ω 0 introduit une réelle difficulté. On suppose
aussi que φ 0 a un caractère unitaire, ν 0 , sous l’action de A ˜
G .
On suppose que pour toute donnée globale, F, G, ˜
G, ω qui en une place v de
F se localise en F 0 , G 0 , ˜
G 0 , ω 0 et pour toute fonction test f
v := ⊗ v =v f v qui est
cuspidale et à support dans les éléments semi-simples réguliers en au moins deux
places, on a I
˜
G
geo (ω, φ 0 ⊗ f
v ) = 0 où la distribution écrite est le côté géométrique
de la formule des traces avec un caractère central (cf. XI.9).
Proposition. Sous ces hypothèses, φ 0 est nulle dans I cusp ( ˜
G 0 , ω 0 ).
Cette proposition est démontrée dans l’appendice en XI.8.
XI.4.3 Preuve de la première partie du théorème
On note ˜
H
v l’algèbre de Hecke hors de v et on se limite aux fonctions qui sont
cuspidales en au moins deux places et qui en une place sont à support dans l’ensemble des éléments semi-simples réguliers ; on suppose en plus que ces fonctions
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Corollaire. L’expression (2) du paragraphe XI.4 est une somme finie.
En effet on a fixé f 0 avec un caractère central ; cette fonction est K-finie pour
un bon sous-groupe compact ouvert K de G. Il n’y a donc qu’un nombre fini de représentations elliptiques simples (à homothétie près) ayant des vecteurs invariants
sous K et ayant le caractère central fixé, d’après le lemme précédent. Il n’y a qu’un
nombre fini de données endoscopiques elliptiques H pour ˜
G et ω. On en fixe une et
il faut encore montrer que tr ˜
τ H,st (f
H
0 ) = 0 sauf pour un nombre fini de représentations ˜
τ . On décompose f
H
0 suivant le théorème de Paley–Wiener ce qui nécessite de
voir f
H
0 comme un élément de I cusp (H) relevant l’élément bien défini uniquement
dans SI(H). On note f
H
0,cusp la composante elliptique dans cette décomposition et
f
H
0,cusp,st la projection de cette composante elliptique dans SI cusp (H) ; on remarque
que f
H
0 est invariant sous les automorphismes de la donnée endoscopique, on suppose donc comme on a le droit que f
H
0,cusp puis f
H
0,cusp,st ont aussi cette propriété
d’invariance. Alors il existe un élément de I cusp ( ˜
G, ω), noté f
0 , dont le transfert a
même image que f
H
0,cusp,st dans SI cusp (H) (cf. encore [I], 4.11 (i)) et on note K 1 un
sous-groupe compact ouvert de G tel que f
0 soit biinvariante sous K 1 . On a donc
pour toute représentation elliptique ˜
τ de ˜
G : tr ˜
τ H,st (f
H
0 ) = tr ˜
τ H,st (f
H
0,cusp ) car
˜
τ H,st est elliptique, puis cela vaut encore tr ˜
τ H,st (f
H
0,cusp,st ) car la représentation
est stable, puis tr ˜
τ (f
0 ) car ˜
τ H,st est un transfert au moins en les points elliptiques
de ˜
τ . Et ceci est donc nul dès que ˜
τ n’a pas de vecteurs invariants sous K 1 . On
applique alors encore le lemme de finitude précédent pour avoir la nullité cherchée
pour presque toute représentation elliptique ˜
τ avec les hypothèses faites.
XI.4.2 Globalisation et approximation
Ici on note F 0 le corps de base p-adique qui était noté F dans les paragraphes
précédents. Et de même on note G 0 , ˜
G 0 , ω 0 les données notées G, ˜
G, ω jusquà
présent. Soit φ 0 ∈ I cusp ( ˜
G 0 , ω 0 ) ; le ω 0 introduit une réelle difficulté. On suppose
aussi que φ 0 a un caractère unitaire, ν 0 , sous l’action de A ˜
G .
On suppose que pour toute donnée globale, F, G, ˜
G, ω qui en une place v de
F se localise en F 0 , G 0 , ˜
G 0 , ω 0 et pour toute fonction test f
v := ⊗ v =v f v qui est
cuspidale et à support dans les éléments semi-simples réguliers en au moins deux
places, on a I
˜
G
geo (ω, φ 0 ⊗ f
v ) = 0 où la distribution écrite est le côté géométrique
de la formule des traces avec un caractère central (cf. XI.9).
Proposition. Sous ces hypothèses, φ 0 est nulle dans I cusp ( ˜
G 0 , ω 0 ).
Cette proposition est démontrée dans l’appendice en XI.8.
XI.4.3 Preuve de la première partie du théorème
On note ˜
H
v l’algèbre de Hecke hors de v et on se limite aux fonctions qui sont
cuspidales en au moins deux places et qui en une place sont à support dans l’ensemble des éléments semi-simples réguliers ; on suppose en plus que ces fonctions