1274
Chapitre XI. Appendice
Un triplet comme précédemment ne détermine que la classe d’homothétie d’une
représentation elliptique.
La proposition suivante est essentiellement un corollaire d’un résultat de
finitude dû à Harish-Chandra, comme la preuve va le montrer.
Proposition. Soit K un sous-groupe ouvert compact de G. Modulo l’action par
tensorisation des caractères non ramifiés de G provenant de iA
∗
˜
G
, il n’y a qu’un
nombre fini de représentations elliptiques simples de ˜
G ayant des vecteurs invariants sous K à homothétie près.
En effet fixons une représentation elliptique simple de ˜
G. Elle, ou plutôt sa
classe d’homothétie, est associée à un triplet (M, σ, ˜
r). On suppose que cette représentation elliptique a des vecteurs invariants sous K. A fortiori, la représentation
de G obtenue en induisant σ a des vecteurs invariants sous K. Cela entraîne que σ
a des vecteurs invariants par un sous-groupe ouvert compact K
M de M ne dépendant que de K. On fixe M et ˜
r que l’on relève en un élément w de Norm ˜
G (M ) que
l’on suppose régulier. On considère l’ensemble des séries discrètes σ
de M ayant
des vecteurs invariants sur K
M et étant normalisées (à isomorphisme près) par
w ; σ fait partie de cet ensemble. On en extrait un sous-ensemble fini E(M, K, w)
tel que pour tout σ
ayant les propriétés précédentes, il existe σ 0 dans E(M, K, w)
et un caractère non ramifié χ de M tel que σ
= χ ⊗ σ 0 ; ceci est possible car
modulo l’action des caractères non ramifiés de M , il n’y a qu’un nombre fini de
séries discrètes de M ayant des vecteurs K
M invariants d’après Harish-Chandra.
Remarquons que puisque σ
et σ 0 sont normalisés par w, on a aussi que χ
w χ
−1 est
dans le stabilisateur de σ 0 pour l’action des caractères non ramifiés. On restreint
au tore déployé central A M de M . Le groupe des caractères unitaires de ce tore est
le quotient de l’espace vectoriel réel, iA
∗
M par un réseau ; on voit le stabilisateur
de σ 0 comme un sous-réseau de iA
∗
M contenant le réseau précédent. L’élément w
agit dans iA
∗
M de façon semi-simple. Le sous-espace vectoriel iA
∗
˜
G
est aussi stable
par w et est exactement l’espace propre pour la valeur propre 1 parce que w est
régulier ; w laisse stable le réseau stabilisant σ 0 et par passage au quotient w agit
de façon semi-simple, l’espace propre pour la valeur propre 1 étant exactement
l’image de iA
∗
˜
G
. Ainsi, il existe un caractère unitaire de G provenant d’un élément
de iA
∗
˜
G
dont la restriction à A M est χ. Notons χ 0 ce caractère et χ diffère donc
de χ 0 par un caractère χ 1 non ramifié de M , trivial sur A M , il n’y en a qu’un
nombre fini. On a donc montré que modulo l’action des caractères de A ˜
G , il n’y a
qu’un nombre fini de séries discrètes de M ayant des vecteurs invariants par K
M
et invariantes sous l’action de w. Le ˜
R-groupe d’une représentation σ est le même
que celui d’une représentation σ ⊗ χ 1 si χ 1 est un caractère provenant de iA
∗
˜
G
et
on a donc montré que modulo l’action de tels caractères il n’y a qu’un nombre
fini de couples (σ, w) pour M fixé et tels que (M, σ, ˜
r) (˜ r est l’image de w comme
précédemment) soit un triplet elliptique. En faisant varier M dans un ensemble
de représentants des classes de conjugaison sous G de sous-groupe de Levi de G,
on obtient la proposition.
Chapitre XI. Appendice
Un triplet comme précédemment ne détermine que la classe d’homothétie d’une
représentation elliptique.
La proposition suivante est essentiellement un corollaire d’un résultat de
finitude dû à Harish-Chandra, comme la preuve va le montrer.
Proposition. Soit K un sous-groupe ouvert compact de G. Modulo l’action par
tensorisation des caractères non ramifiés de G provenant de iA
∗
˜
G
, il n’y a qu’un
nombre fini de représentations elliptiques simples de ˜
G ayant des vecteurs invariants sous K à homothétie près.
En effet fixons une représentation elliptique simple de ˜
G. Elle, ou plutôt sa
classe d’homothétie, est associée à un triplet (M, σ, ˜
r). On suppose que cette représentation elliptique a des vecteurs invariants sous K. A fortiori, la représentation
de G obtenue en induisant σ a des vecteurs invariants sous K. Cela entraîne que σ
a des vecteurs invariants par un sous-groupe ouvert compact K
M de M ne dépendant que de K. On fixe M et ˜
r que l’on relève en un élément w de Norm ˜
G (M ) que
l’on suppose régulier. On considère l’ensemble des séries discrètes σ
de M ayant
des vecteurs invariants sur K
M et étant normalisées (à isomorphisme près) par
w ; σ fait partie de cet ensemble. On en extrait un sous-ensemble fini E(M, K, w)
tel que pour tout σ
ayant les propriétés précédentes, il existe σ 0 dans E(M, K, w)
et un caractère non ramifié χ de M tel que σ
= χ ⊗ σ 0 ; ceci est possible car
modulo l’action des caractères non ramifiés de M , il n’y a qu’un nombre fini de
séries discrètes de M ayant des vecteurs K
M invariants d’après Harish-Chandra.
Remarquons que puisque σ
et σ 0 sont normalisés par w, on a aussi que χ
w χ
−1 est
dans le stabilisateur de σ 0 pour l’action des caractères non ramifiés. On restreint
au tore déployé central A M de M . Le groupe des caractères unitaires de ce tore est
le quotient de l’espace vectoriel réel, iA
∗
M par un réseau ; on voit le stabilisateur
de σ 0 comme un sous-réseau de iA
∗
M contenant le réseau précédent. L’élément w
agit dans iA
∗
M de façon semi-simple. Le sous-espace vectoriel iA
∗
˜
G
est aussi stable
par w et est exactement l’espace propre pour la valeur propre 1 parce que w est
régulier ; w laisse stable le réseau stabilisant σ 0 et par passage au quotient w agit
de façon semi-simple, l’espace propre pour la valeur propre 1 étant exactement
l’image de iA
∗
˜
G
. Ainsi, il existe un caractère unitaire de G provenant d’un élément
de iA
∗
˜
G
dont la restriction à A M est χ. Notons χ 0 ce caractère et χ diffère donc
de χ 0 par un caractère χ 1 non ramifié de M , trivial sur A M , il n’y en a qu’un
nombre fini. On a donc montré que modulo l’action des caractères de A ˜
G , il n’y a
qu’un nombre fini de séries discrètes de M ayant des vecteurs invariants par K
M
et invariantes sous l’action de w. Le ˜
R-groupe d’une représentation σ est le même
que celui d’une représentation σ ⊗ χ 1 si χ 1 est un caractère provenant de iA
∗
˜
G
et
on a donc montré que modulo l’action de tels caractères il n’y a qu’un nombre
fini de couples (σ, w) pour M fixé et tels que (M, σ, ˜
r) (˜ r est l’image de w comme
précédemment) soit un triplet elliptique. En faisant varier M dans un ensemble
de représentants des classes de conjugaison sous G de sous-groupe de Levi de G,
on obtient la proposition.