XI.4. Représentations elliptiques comme transfert
1273
On identifie alors par la dualité de [81] 7.2 la fonction φ
H
˜
τ a une somme de pseudo
coefficients de représentations elliptiques de H avec un caractère central déterminé
par μ ou encore cela détermine une représentation elliptique ˜
τ
H sur laquelle la
trace sur φ
H
˜
τ vaut 1 et qui donne la trace 0 à tous les éléments de I cusp (H) (avec
le même caractère central que φ
H
˜
τ ) orthogonaux pour le produit scalaire elliptique
à φ
H
˜
τ ). En particulier ˜
τ
H annule toutes les fonctions cuspidales instables (c’est-àdire ayant leurs intégrales orbitales stables nulles) et, grâce au théorème de XI.3
est donc une représentation elliptique stable de H. On note donc ˜
τ
H par ˜
τ H,st .
On vient donc de construire pour toute donnée endoscopique elliptique H de
˜
G une représentation elliptique ˜
τ H,st stable et il est à peu près clair que l’on a
l’égalité :
(1)
tr ˜
τ (f ) =
H
tr ˜
τ H,st (f
H )
pour toute fonction cuspidale f sur ˜
G. Et pour démontrer la première partie du
théorème, il suffit donc de montrer que puisque (1) est vrai pour les fonctions
cuspidales alors (1) est vrai pour toutes les fonctions.
Pour cela on fixe une fonction f 0 et on pose
(2)
φ f0 :=
˜
τ
φ ˜
τ
tr ˜
τ (f 0 ) −
H
tr ˜
τ H,st (f
H
0 )
,
où ˜
τ parcourt l’ensemble des représentations elliptiques de ˜
G (prises à homothétie
près) ayant μ comme caractère cental. Le terme de droite est fini on le montrera
avant de commencer la preuve.
L’argument consiste ensuite à globaliser la situation et à montrer que toute
fonction test globale ayant φ f0 en la place qui nous intéresse et étant cuspidale
en deux autres places (de façon à avoir une formule des traces simple), annule le
côté spectral de la formule des traces. Par approximation on en déduira que les
ω-intégrales orbitales de φ f0 en les points elliptiques de ˜
G sont nulles et comme φ f0
est une fonction cuspidale cela suffit pour savoir que toute les ω-intégrales orbitales
pour des éléments semi-simple réguliers de ˜
G sont nulles. Donc φ f0 est d’image
nulle dans I cusp ( ˜
G, ω). Comme les éléments φ ˜
τ sont linéairement indépendant dans
I cusp ( ˜
G, ω) d’après [81] 7.2, le coefficient affectant φ ˜
τ dans la définition de φ f0 est
nul pour toute représentation elliptique ˜
τ et cela donne l’égalité (1) pour f 0 .
XI.4.1 Une propriété de finitude des représentations elliptiques
Une représentation elliptique est dite simple si elle est associée à un triplet (M, σ, ˜
r)
où M est un sous-groupe de Levi de G, σ est une série discrète de M et ˜
r est un
élément régulier du R-groupe tordu de σ (cf. [81] 2.11 et 2.12). On dit que deux
représentations elliptiques sont homothétiques s’il existe x ∈ C
∗ (de norme 1)
tel que l’une des représentations se déduise de l’autre par multiplication par x.
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On identifie alors par la dualité de [81] 7.2 la fonction φ
H
˜
τ a une somme de pseudo
coefficients de représentations elliptiques de H avec un caractère central déterminé
par μ ou encore cela détermine une représentation elliptique ˜
τ
H sur laquelle la
trace sur φ
H
˜
τ vaut 1 et qui donne la trace 0 à tous les éléments de I cusp (H) (avec
le même caractère central que φ
H
˜
τ ) orthogonaux pour le produit scalaire elliptique
à φ
H
˜
τ ). En particulier ˜
τ
H annule toutes les fonctions cuspidales instables (c’est-àdire ayant leurs intégrales orbitales stables nulles) et, grâce au théorème de XI.3
est donc une représentation elliptique stable de H. On note donc ˜
τ
H par ˜
τ H,st .
On vient donc de construire pour toute donnée endoscopique elliptique H de
˜
G une représentation elliptique ˜
τ H,st stable et il est à peu près clair que l’on a
l’égalité :
(1)
tr ˜
τ (f ) =
H
tr ˜
τ H,st (f
H )
pour toute fonction cuspidale f sur ˜
G. Et pour démontrer la première partie du
théorème, il suffit donc de montrer que puisque (1) est vrai pour les fonctions
cuspidales alors (1) est vrai pour toutes les fonctions.
Pour cela on fixe une fonction f 0 et on pose
(2)
φ f0 :=
˜
τ
φ ˜
τ
tr ˜
τ (f 0 ) −
H
tr ˜
τ H,st (f
H
0 )
,
où ˜
τ parcourt l’ensemble des représentations elliptiques de ˜
G (prises à homothétie
près) ayant μ comme caractère cental. Le terme de droite est fini on le montrera
avant de commencer la preuve.
L’argument consiste ensuite à globaliser la situation et à montrer que toute
fonction test globale ayant φ f0 en la place qui nous intéresse et étant cuspidale
en deux autres places (de façon à avoir une formule des traces simple), annule le
côté spectral de la formule des traces. Par approximation on en déduira que les
ω-intégrales orbitales de φ f0 en les points elliptiques de ˜
G sont nulles et comme φ f0
est une fonction cuspidale cela suffit pour savoir que toute les ω-intégrales orbitales
pour des éléments semi-simple réguliers de ˜
G sont nulles. Donc φ f0 est d’image
nulle dans I cusp ( ˜
G, ω). Comme les éléments φ ˜
τ sont linéairement indépendant dans
I cusp ( ˜
G, ω) d’après [81] 7.2, le coefficient affectant φ ˜
τ dans la définition de φ f0 est
nul pour toute représentation elliptique ˜
τ et cela donne l’égalité (1) pour f 0 .
XI.4.1 Une propriété de finitude des représentations elliptiques
Une représentation elliptique est dite simple si elle est associée à un triplet (M, σ, ˜
r)
où M est un sous-groupe de Levi de G, σ est une série discrète de M et ˜
r est un
élément régulier du R-groupe tordu de σ (cf. [81] 2.11 et 2.12). On dit que deux
représentations elliptiques sont homothétiques s’il existe x ∈ C
∗ (de norme 1)
tel que l’une des représentations se déduise de l’autre par multiplication par x.