1272
Chapitre XI. Appendice
celui d’un Levi, M Q de Q, de longueur minimale dans leur double classe et où
Q w est un sous-groupe parabolique de L de Levi L ∩ wM Q w
−1 tandis que Q
w est
le sous-groupe parabolique de M Q , w
−1 Lw ∩ M Q . Ainsi Q w est un sous-groupe
parabolique propre de L sauf si w
−1 Lw est inclus dans Q ; dans ce dernier cas
˜
π Q = 0 par hypothèse sauf si Q = P (plus exactement si Q et P sont dans la
même classe d’association mais on peut alors les supposer égaux). Comme on a
précisé que ˜
π L est invariant par conjugaison sous le groupe de Weyl de G stabilisant L, le module de Jacquet cherché est donc la somme d’un multiple de ˜
π L avec
des induites propres en tant que représentation de L et non de ˜
L. Toutefois ici on
est dans le cas où G est quasi-déployé et où l’action de ˜
G sur G est intérieure.
Alors à tout sous-groupe parabolique est associé un espace parabolique. L’action
de ˜
L est naturelle sur toutes les induites. Donc ainsi le module de Jacquet de ˜
π en
tant que représentation virtuelle de ˜
L est la somme d’un multiple non nul de ˜
π L et
de représentations induites propres. Ce module de Jacquet est certainement stable
puisque ˜
π est stable et ˜
π L est alors stable sur les éléments elliptiques (propriété
qui ne voit pas les induites propres). On sait donc, grâce au théorème précédent,
que c’est une représentation stable. Ceci termine la preuve.
XI.4 Représentations elliptiques comme transfert
Théorème. Soit ˜
π une représentation elliptique de ˜
G ; alors ˜
π est une combinaison linéaire de transferts de représentations elliptiques stables de groupes endoscopiques elliptiques de ˜
G. Et réciproquement, le transfert d’une représentation
elliptique stable d’un groupe endoscopique elliptique de ˜
G est une représentation
elliptique de ˜
G.
Ce théorème se démontre en suivant exactement la preuve de [13]. On résume
ici la preuve du sens direct du théorème (le plus difficile, en fait) et on l’explicite
dans les paragraphes suivants. Soit ˜
τ une représentation elliptique de ˜
G dont
on note φ ˜
τ un pseudo coefficient qui est une fonction cuspidale sur ˜
G ; ici nous
avons une difficulté quand A ˜
G = 1. On fixe un caractère unitaire μ de A ˜
G , on
suppose que ˜
τ se transforme suivant ce caractère et que φ ˜
τ se transforme suivant
le caractère μ
−1 , c’est un pseudo coefficient avec un caractère central (cf. [81] 7.2).
Bien entendu μ doit satisfaire à la condition de transformation : ad(γ).μ = μω
pour tout γ dans ˜
G pour que l’énoncé ne soit pas vide.
Soit H une donnée endoscopique elliptique de ˜
G, ω. Le tranfert de φ ˜
τ est
une fonction cuspidale avec caractère central pour ˜
H (quand on fait vraiment
intervenir les données auxiliaires indispensables même si on les néglige aussi, on
a de toute façon un caractère pour un sous-groupe du centre de H 1 la donnée
auxiliaire). On note φ
H
˜
τ ce transfert qui n’est bien défini que dans SI cusp (H). On
voit SI cusp (H) comme le sous-espace vectoriel de I cusp (H) qui est l’orthogonal
pour le produit scalaire elliptique des éléments de I cusp (H) obtenu par transfert
à partir des données endoscopiques elliptiques propres de H (cf. [I] (i) de 4.11).
Chapitre XI. Appendice
celui d’un Levi, M Q de Q, de longueur minimale dans leur double classe et où
Q w est un sous-groupe parabolique de L de Levi L ∩ wM Q w
−1 tandis que Q
w est
le sous-groupe parabolique de M Q , w
−1 Lw ∩ M Q . Ainsi Q w est un sous-groupe
parabolique propre de L sauf si w
−1 Lw est inclus dans Q ; dans ce dernier cas
˜
π Q = 0 par hypothèse sauf si Q = P (plus exactement si Q et P sont dans la
même classe d’association mais on peut alors les supposer égaux). Comme on a
précisé que ˜
π L est invariant par conjugaison sous le groupe de Weyl de G stabilisant L, le module de Jacquet cherché est donc la somme d’un multiple de ˜
π L avec
des induites propres en tant que représentation de L et non de ˜
L. Toutefois ici on
est dans le cas où G est quasi-déployé et où l’action de ˜
G sur G est intérieure.
Alors à tout sous-groupe parabolique est associé un espace parabolique. L’action
de ˜
L est naturelle sur toutes les induites. Donc ainsi le module de Jacquet de ˜
π en
tant que représentation virtuelle de ˜
L est la somme d’un multiple non nul de ˜
π L et
de représentations induites propres. Ce module de Jacquet est certainement stable
puisque ˜
π est stable et ˜
π L est alors stable sur les éléments elliptiques (propriété
qui ne voit pas les induites propres). On sait donc, grâce au théorème précédent,
que c’est une représentation stable. Ceci termine la preuve.
XI.4 Représentations elliptiques comme transfert
Théorème. Soit ˜
π une représentation elliptique de ˜
G ; alors ˜
π est une combinaison linéaire de transferts de représentations elliptiques stables de groupes endoscopiques elliptiques de ˜
G. Et réciproquement, le transfert d’une représentation
elliptique stable d’un groupe endoscopique elliptique de ˜
G est une représentation
elliptique de ˜
G.
Ce théorème se démontre en suivant exactement la preuve de [13]. On résume
ici la preuve du sens direct du théorème (le plus difficile, en fait) et on l’explicite
dans les paragraphes suivants. Soit ˜
τ une représentation elliptique de ˜
G dont
on note φ ˜
τ un pseudo coefficient qui est une fonction cuspidale sur ˜
G ; ici nous
avons une difficulté quand A ˜
G = 1. On fixe un caractère unitaire μ de A ˜
G , on
suppose que ˜
τ se transforme suivant ce caractère et que φ ˜
τ se transforme suivant
le caractère μ
−1 , c’est un pseudo coefficient avec un caractère central (cf. [81] 7.2).
Bien entendu μ doit satisfaire à la condition de transformation : ad(γ).μ = μω
pour tout γ dans ˜
G pour que l’énoncé ne soit pas vide.
Soit H une donnée endoscopique elliptique de ˜
G, ω. Le tranfert de φ ˜
τ est
une fonction cuspidale avec caractère central pour ˜
H (quand on fait vraiment
intervenir les données auxiliaires indispensables même si on les néglige aussi, on
a de toute façon un caractère pour un sous-groupe du centre de H 1 la donnée
auxiliaire). On note φ
H
˜
τ ce transfert qui n’est bien défini que dans SI cusp (H). On
voit SI cusp (H) comme le sous-espace vectoriel de I cusp (H) qui est l’orthogonal
pour le produit scalaire elliptique des éléments de I cusp (H) obtenu par transfert
à partir des données endoscopiques elliptiques propres de H (cf. [I] (i) de 4.11).