XI.3. Stabilité
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8.2 à 8.4 par l’utilisation des propriétés locales démontrées précédemment. C’est
la méthode que l’on va suivre pour démontrer XI.4 ci-dessous. On ne fait pas la
démonstration ici d’autant que ce théorème résulte du même théorème démontré
en [13] puiqu’en [III] 2.3 et suivants, il a été montré que le cas quasidéployé et à
torsion intérieure, on peut se ramener au cas non tordu. Avec cette démonstration
elliptique, il n’est pas clair de voir pourquoi on élimine le cas du corps de base
archimédien ; en fait comme on le verra plus loin, dans l’utilisation de la formule
des traces, il faut impérativement savoir que le transfert des fonctions peut se
faire en gardant la K-finitude. Cela est démontré en [IV] et tous les théorèmes
ci-dessous sont démontrés dans le cas archimédien en [IV], pas dans le même ordre
et sans utilisation de la formule des traces.
XI.3.1 Décomposition des représentations stables de ˜
G
On suppose encore ici que G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et ω = 1.
Soit ˜
π une représentation virtuelle de ˜
G, on la suppose stable, c’est-à-dire que pour
toute fonction f sur ˜
G dont les intégrales orbitales stables sont nulles, tr ˜
π(f ) = 0.
On décompose ˜
π dans le groupe de Grothendieck et en particulier pour toute
classe de conjugaison de sous-espace de Levi ˜
L de ˜
G, on définit ˜
π L une représentation virtuelle combinaison linéaires de représentations elliptiques modulo le centre
de ˜
L, invariante sous l’action de Stab G ˜
L (groupe noté habituellement W
G ( ˜
L) en
particulier en [81]) de telle sorte que ˜
π est la somme des induites de ˜
π L (le choix
de l’espace parabolique pour induire n’a pas d’importance).
Corollaire. Chaque ˜
π L est stable.
C’est essentiellement la même démonstration que dans le cas non tordu mais
on la redonne.
Soit f une fonction cuspidale. On a évidemment tr ˜
π(f ) = tr ˜
π G (f ) ; ainsi
l’hypothèse de stabilité de ˜
π entraîne que ˜
π G est stable sur les éléments elliptiques ;
ici ˜
π G est uniquement supposé une combinaison linéaire de représentations elliptiques modulo le centre. On sait donc, grâce au théorème précédent, que c’est une
représentation stable.
On fixe ˜
L une classe de conjugaison d’espace de Levi de ˜
G et on suppose que
l’on a déjà montré que ˜
π L est stable pour tout espace ˜
L
contenant strictement
un conjugué de ˜
L. En remplaçant ˜
π par la différence de ˜
π avec l’induite de ces
représentations, on garde la même hypothèse de stabilité mais on a en plus que
˜
π L = 0 si L
contient strictement un conjugué de L.
On montre que ˜
π L est stable. On fixe un espace parabolique ˜
P d’espace de
Levi ˜
L et on calcule le module de Jacquet de ˜
π pour le radical unipotent de cet
espace parabolique.
Le module de Jacquet d’une induite, Ind
G
Q π
est, d’après Bernstein et Zelevinski la somme des induites Ind
L
Qw (w.π
Q
w
) où w parcourt un ensemble de représentants des doubles classes du groupe de Weyl de G modulo celui de L et
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8.2 à 8.4 par l’utilisation des propriétés locales démontrées précédemment. C’est
la méthode que l’on va suivre pour démontrer XI.4 ci-dessous. On ne fait pas la
démonstration ici d’autant que ce théorème résulte du même théorème démontré
en [13] puiqu’en [III] 2.3 et suivants, il a été montré que le cas quasidéployé et à
torsion intérieure, on peut se ramener au cas non tordu. Avec cette démonstration
elliptique, il n’est pas clair de voir pourquoi on élimine le cas du corps de base
archimédien ; en fait comme on le verra plus loin, dans l’utilisation de la formule
des traces, il faut impérativement savoir que le transfert des fonctions peut se
faire en gardant la K-finitude. Cela est démontré en [IV] et tous les théorèmes
ci-dessous sont démontrés dans le cas archimédien en [IV], pas dans le même ordre
et sans utilisation de la formule des traces.
XI.3.1 Décomposition des représentations stables de ˜
G
On suppose encore ici que G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et ω = 1.
Soit ˜
π une représentation virtuelle de ˜
G, on la suppose stable, c’est-à-dire que pour
toute fonction f sur ˜
G dont les intégrales orbitales stables sont nulles, tr ˜
π(f ) = 0.
On décompose ˜
π dans le groupe de Grothendieck et en particulier pour toute
classe de conjugaison de sous-espace de Levi ˜
L de ˜
G, on définit ˜
π L une représentation virtuelle combinaison linéaires de représentations elliptiques modulo le centre
de ˜
L, invariante sous l’action de Stab G ˜
L (groupe noté habituellement W
G ( ˜
L) en
particulier en [81]) de telle sorte que ˜
π est la somme des induites de ˜
π L (le choix
de l’espace parabolique pour induire n’a pas d’importance).
Corollaire. Chaque ˜
π L est stable.
C’est essentiellement la même démonstration que dans le cas non tordu mais
on la redonne.
Soit f une fonction cuspidale. On a évidemment tr ˜
π(f ) = tr ˜
π G (f ) ; ainsi
l’hypothèse de stabilité de ˜
π entraîne que ˜
π G est stable sur les éléments elliptiques ;
ici ˜
π G est uniquement supposé une combinaison linéaire de représentations elliptiques modulo le centre. On sait donc, grâce au théorème précédent, que c’est une
représentation stable.
On fixe ˜
L une classe de conjugaison d’espace de Levi de ˜
G et on suppose que
l’on a déjà montré que ˜
π L est stable pour tout espace ˜
L
contenant strictement
un conjugué de ˜
L. En remplaçant ˜
π par la différence de ˜
π avec l’induite de ces
représentations, on garde la même hypothèse de stabilité mais on a en plus que
˜
π L = 0 si L
contient strictement un conjugué de L.
On montre que ˜
π L est stable. On fixe un espace parabolique ˜
P d’espace de
Levi ˜
L et on calcule le module de Jacquet de ˜
π pour le radical unipotent de cet
espace parabolique.
Le module de Jacquet d’une induite, Ind
G
Q π
est, d’après Bernstein et Zelevinski la somme des induites Ind
L
Qw (w.π
Q
w
) où w parcourt un ensemble de représentants des doubles classes du groupe de Weyl de G modulo celui de L et