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Chapitre XI. Appendice
pour les représentations π
de G
qui déterminent ˜
π par transfert et où les Δ
G
sont les facteurs de transfert. Pour tout (G
, m
), l’espace parabolique associé à
P détermine un sous-groupe parabolique P
de G
de sous-groupe de Levi M
tel
que la chambre positive pour P dans A ˜
M s’envoie sur la chambre positive pour P
de A M . On peut récrire la formule ci-dessus
δ ˜
P (am)
1/2 θ ˜
G ˜
π(am) =
(G ,m )
c
G
(a
m
)Δ
G
(am, a
m
)δ P (a
m
)
1/2 θ G π
(a
m
),
où
c
G
(a
m
) = δ ˜
P (am)
1/2 D
˜
G (am)
−1/2 δ P (a
m
)
−1/2 D
G
(a
m
)
1/2 .
On fait tendre a vers l’infini dans la formule ci-dessus après avoir multiplié par
ν(a)
−1 ; a
tend lui aussi vers l’infini dans la direction de P
. Les facteurs de transfert sont des nombres complexes de module 1 donc leur norme vaut constamment
1. Par hypothèse les représentations π
sont elliptiques donc
δ P (a
m
)
1/2
|θ G π
(a
m
)|
reste borné et la limite ν(a)
−1
|θ G π
(a
m
)| tend vers 0. On vérifie que c
G
(a
m
)
reste borné et tend vers D
˜
M (m)
−1/2 D
M
(m
)
1/2 . Ainsi la limite quand on multiplie
par ν(a)
−1 est nulle ce qui donne la contradiction cherchée.
Maintenant que l’on est ramené aux représentations tempérées, on peut utiliser la caractérisation de la proposition précédente. Pour cela il suffit de remarquer
que par définition du terme constant donnée en XI.2.7, la trace tordue sur les
termes constants unitaires sont des transferts de leurs analogues pour les groupes
endoscopiques exactement comme ci-dessus. Ils sont donc nuls pour les espaces
paraboliques propres puisque ceci est vrai pour les représentations elliptiques que
l’on transfère.
XI.3 Stabilité
A partir de maintenant on suppose que le corps de base est non archimédien ; les
résultats dans le cas archimédien sont démontrés dans [IV]. Ici on suppose que ˜
G
est à torsion intérieure et que G est quasi-déployé et ω = 1.
Théorème. Soit π, ˜
π une représentation elliptique de ˜
G ; on suppose que pour toute
fonction cuspidale f sur ˜
G vérifiant S
˜
G (˜ γ, f ) = 0 pour tout élément ˜
γ ∈ ˜
G fortement régulier, on a trace(˜ π)(f ) = 0 alors cette nullité est vraie en enlevant
l’hypothèse de cuspidalité sur f .
En termes simples, une représentation virtuelle elliptique stable sur l’ensemble des points elliptiques est stable.
Dans le cas, où l’on est, du corps de base non-archimédien, la démonstration
se fait par voie globale en suivant [13] et en remplaçant les arguments de [13]
Chapitre XI. Appendice
pour les représentations π
de G
qui déterminent ˜
π par transfert et où les Δ
G
sont les facteurs de transfert. Pour tout (G
, m
), l’espace parabolique associé à
P détermine un sous-groupe parabolique P
de G
de sous-groupe de Levi M
tel
que la chambre positive pour P dans A ˜
M s’envoie sur la chambre positive pour P
de A M . On peut récrire la formule ci-dessus
δ ˜
P (am)
1/2 θ ˜
G ˜
π(am) =
(G ,m )
c
G
(a
m
)Δ
G
(am, a
m
)δ P (a
m
)
1/2 θ G π
(a
m
),
où
c
G
(a
m
) = δ ˜
P (am)
1/2 D
˜
G (am)
−1/2 δ P (a
m
)
−1/2 D
G
(a
m
)
1/2 .
On fait tendre a vers l’infini dans la formule ci-dessus après avoir multiplié par
ν(a)
−1 ; a
tend lui aussi vers l’infini dans la direction de P
. Les facteurs de transfert sont des nombres complexes de module 1 donc leur norme vaut constamment
1. Par hypothèse les représentations π
sont elliptiques donc
δ P (a
m
)
1/2
|θ G π
(a
m
)|
reste borné et la limite ν(a)
−1
|θ G π
(a
m
)| tend vers 0. On vérifie que c
G
(a
m
)
reste borné et tend vers D
˜
M (m)
−1/2 D
M
(m
)
1/2 . Ainsi la limite quand on multiplie
par ν(a)
−1 est nulle ce qui donne la contradiction cherchée.
Maintenant que l’on est ramené aux représentations tempérées, on peut utiliser la caractérisation de la proposition précédente. Pour cela il suffit de remarquer
que par définition du terme constant donnée en XI.2.7, la trace tordue sur les
termes constants unitaires sont des transferts de leurs analogues pour les groupes
endoscopiques exactement comme ci-dessus. Ils sont donc nuls pour les espaces
paraboliques propres puisque ceci est vrai pour les représentations elliptiques que
l’on transfère.
XI.3 Stabilité
A partir de maintenant on suppose que le corps de base est non archimédien ; les
résultats dans le cas archimédien sont démontrés dans [IV]. Ici on suppose que ˜
G
est à torsion intérieure et que G est quasi-déployé et ω = 1.
Théorème. Soit π, ˜
π une représentation elliptique de ˜
G ; on suppose que pour toute
fonction cuspidale f sur ˜
G vérifiant S
˜
G (˜ γ, f ) = 0 pour tout élément ˜
γ ∈ ˜
G fortement régulier, on a trace(˜ π)(f ) = 0 alors cette nullité est vraie en enlevant
l’hypothèse de cuspidalité sur f .
En termes simples, une représentation virtuelle elliptique stable sur l’ensemble des points elliptiques est stable.
Dans le cas, où l’on est, du corps de base non-archimédien, la démonstration
se fait par voie globale en suivant [13] et en remplaçant les arguments de [13]