XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques
1269
est essentiel pour ˜
G l’est aussi pour ˜
M (s’il est inclus dans ˜
M ) et ˜
π est elliptique
si et seulement si le seul choix pour ˜
M est ˜
M = ˜
G. Cela prouve le théorème.
XI.2.11 Transfert de représentations elliptiques
Corollaire. Soit ˜
π une représentation de ˜
G ; on suppose que la ˜
G-trace de ˜
π est un
transfert d’une combinaison linéaire stable de représentations elliptiques de groupes
endoscopiques elliptiques de ˜
G. Alors ˜
π est elliptique.
La preuve du corollaire est la même dans le cas archimédien et le cas non
archimédien, seules les notations diffèrent. On la donne dans le cas archimédien,
le cas non-archimédien sera traité dans un cadre plus général en XI.4.3
XI.2.12 Preuve du corollaire dans le cas archimédien
On montre d’abord que ˜
π est tempérée. On écrit ˜
π dans la base du groupe de
Grothendieck formée par les représentations induites à partir de représentations
elliptiques modulo le centre d’espaces paraboliques (standard) de ˜
G. Si ˜
π n’est
pas tempérée, dans cette écriture intervient des induites avec des paramètres dans
la chambre de Weil négative pour l’espace parabolique. On fixe une telle induite,
en supposant d’abord que l’espace parabolique est minimal pour ce choix puis (à
espace parabolique fixé) que l’exposant est minimal pour ce choix :
on note ˜
P un espace parabolique d’espace de Levi noté ˜
M minimal avec la
propriété qu’en notant A un tore déployé maximal dans le centre de M il existe un
caractère ν de A et une représentation elliptique ˜
σ de M intervenant dans l’écriture
ci-dessus avec ν dans la chambre de Weyl négative et on suppose ν minimal. On
précise le choix de ˜
σ en faisant la combinaison linéaire de toutes les représentations
elliptiques intervenant avec le caractère ν et on suppose que la trace de ˜
σ est non
nulle. Il faut vérifier que pour tout ˜
m élément fortement régulier de ˜
M la limite
quand a tend vers l’infini dans la direction de P de ν(a)
−1 δ ˜
P (am)
1/2 θ ˜
G ˜
π(am)
est égale à θ ˜
σ (m), où les caractères sont normalisés de la façon usuelle. C’est la
démonstration du cas non tordu : on remarque d’abord que dans le terme de
gauche, quand on écrit ˜
π dans le groupe de Grothendieck n’interviennent que des
induites à partir d’espaces paraboliques contenant ˜
M puis on utilise la minimalité
de l’exposant, ν.
Or θ ˜
G ˜
π(am) se calcule par transfert. Explicitons : on fixe l’ensemble fini des
couples (G
, m
) formée d’une donnée endoscopique elliptique, G
de ˜
G et d’un
élément m
∈ ˜
G
(R) se tranférant en m ; ces couples sont pris à équivalence près.
Pour chaque (G
, m
) le choix d’un diagramme joignant m à m
(cf. [I], 1.8) permet
d’envoyer A ˜
M en un sous-tore déployé A
de G
m ⊂ G
. On note M
le commutant
de A
dans G
. D’où une application a → a
de A ˜
M dans A M . Et on a
D
˜
G (am)
1/2 θ ˜
G ˜
π(am) =
(G ,m )
Δ
G
(am, a
m
)D
˜
G
(a
m
)
1/2 θ G π
(a
m
),
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est essentiel pour ˜
G l’est aussi pour ˜
M (s’il est inclus dans ˜
M ) et ˜
π est elliptique
si et seulement si le seul choix pour ˜
M est ˜
M = ˜
G. Cela prouve le théorème.
XI.2.11 Transfert de représentations elliptiques
Corollaire. Soit ˜
π une représentation de ˜
G ; on suppose que la ˜
G-trace de ˜
π est un
transfert d’une combinaison linéaire stable de représentations elliptiques de groupes
endoscopiques elliptiques de ˜
G. Alors ˜
π est elliptique.
La preuve du corollaire est la même dans le cas archimédien et le cas non
archimédien, seules les notations diffèrent. On la donne dans le cas archimédien,
le cas non-archimédien sera traité dans un cadre plus général en XI.4.3
XI.2.12 Preuve du corollaire dans le cas archimédien
On montre d’abord que ˜
π est tempérée. On écrit ˜
π dans la base du groupe de
Grothendieck formée par les représentations induites à partir de représentations
elliptiques modulo le centre d’espaces paraboliques (standard) de ˜
G. Si ˜
π n’est
pas tempérée, dans cette écriture intervient des induites avec des paramètres dans
la chambre de Weil négative pour l’espace parabolique. On fixe une telle induite,
en supposant d’abord que l’espace parabolique est minimal pour ce choix puis (à
espace parabolique fixé) que l’exposant est minimal pour ce choix :
on note ˜
P un espace parabolique d’espace de Levi noté ˜
M minimal avec la
propriété qu’en notant A un tore déployé maximal dans le centre de M il existe un
caractère ν de A et une représentation elliptique ˜
σ de M intervenant dans l’écriture
ci-dessus avec ν dans la chambre de Weyl négative et on suppose ν minimal. On
précise le choix de ˜
σ en faisant la combinaison linéaire de toutes les représentations
elliptiques intervenant avec le caractère ν et on suppose que la trace de ˜
σ est non
nulle. Il faut vérifier que pour tout ˜
m élément fortement régulier de ˜
M la limite
quand a tend vers l’infini dans la direction de P de ν(a)
−1 δ ˜
P (am)
1/2 θ ˜
G ˜
π(am)
est égale à θ ˜
σ (m), où les caractères sont normalisés de la façon usuelle. C’est la
démonstration du cas non tordu : on remarque d’abord que dans le terme de
gauche, quand on écrit ˜
π dans le groupe de Grothendieck n’interviennent que des
induites à partir d’espaces paraboliques contenant ˜
M puis on utilise la minimalité
de l’exposant, ν.
Or θ ˜
G ˜
π(am) se calcule par transfert. Explicitons : on fixe l’ensemble fini des
couples (G
, m
) formée d’une donnée endoscopique elliptique, G
de ˜
G et d’un
élément m
∈ ˜
G
(R) se tranférant en m ; ces couples sont pris à équivalence près.
Pour chaque (G
, m
) le choix d’un diagramme joignant m à m
(cf. [I], 1.8) permet
d’envoyer A ˜
M en un sous-tore déployé A
de G
m ⊂ G
. On note M
le commutant
de A
dans G
. D’où une application a → a
de A ˜
M dans A M . Et on a
D
˜
G (am)
1/2 θ ˜
G ˜
π(am) =
(G ,m )
Δ
G
(am, a
m
)D
˜
G
(a
m
)
1/2 θ G π
(a
m
),