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Chapitre XI. Appendice
Corollaire. Le lemme XI.2.6 est valable sur le corps de base R (sans hypothèse
sur W 0,σ ).
La preuve est la même que dans le cas non-archimédien, en utilisant le lemme
ci-dessus et le corolaire XI.2.8.
XI.2.10 Preuve du théorème de XI.2.3
Rappelons-en d’abord l’énoncé. On revient à une représentation ˜
π tempérée de
˜
G. On écrit ˜
π dans la base du groupe de Grothendieck des représentations de
˜
G définie par les couples ( ˜
M , ˜
τ ) (pris à conjugaison près sous G) où ˜
M est un
sous-espace de Levi de ˜
G et où ˜
τ en est une représentation elliptique irréductible,
c’est-à-dire correspondant à un triplet (L, σ, ˜
r) où L est un sous-groupe de Levi de
M , σ en est une série discrète irréductible et ˜
r est un élément régulier de ˜
R
˜
M du
˜
R-groupe de σ dans ˜
M (avec W
˜
M
0,σ = 1) (cf. [81] 2.12) et ces triplets sont essentiels
au sens de [81].
Par définition ˜
π est elliptique si dans cette décomposition il n’intervient que
les ˜
M qui coïncident avec ˜
G et le théorème dit que ceci est équivalent à ce que,
pour tout espace de Levi ˜
M de ˜
G, la trace de ˜
M dans les ˜
π M,u est nulle.
Montrons cela. pour L un sous-groupe de Levi de G et σ une série discrète
irréductible de L, on note ˜
π[L, σ] la somme des composantes de ˜
π correspondant
à des couples ˜
M , ˜
τ où (quitte à conjuguer ce couple sour G), ˜
M contient L et
˜
τ correspond à un triplet de la forme (L, σ, ˜
r) où L, σ sont les données fixées.
Donc ˜
π est la somme des ˜
π[L, σ] quand (L, σ) parcourt l’ensemble des classes de
conjugaison que l’on vient de décrire.
On fixe (L, σ) tel que ˜
π[L, σ] = 0 ; on fixe aussi ˜
M minimal tel que L soit
un sous-groupe de Levi de M vérifiant W
˜
M
0,σ = 1 et il existe ˜
r dans le ˜
R
˜
M et
˜
π[L, σ] contient avec un coefficient non nul la représentation de ˜
G associée au
triplet (L, σ, ˜
r) ; cela force, par construction, ce triplet a être essentiel pour ˜
G.
Montrons que la condition de minimalité sur ˜
M entraîne que ˜
π[L, σ] M,u est
une représentation elliptique de ˜
M : on fixe ˜
r tel que la représentation associée
à (L, σ, ˜
r) contribue à ˜
π[L, σ]. Si ˜
r n’est pas dans ˜
M alors la représentation ne
contribue pas au module de Jacquet ˜
π[L, σ] M,u d’après le lemme de XI.2.6 et le
corollaire XI.2.9. Et par minimalité de ˜
M , un élément ˜
r qui contribue est nécessairement régulier d’après [81] 2.11 et alors la contribution de cette représentation
à ˜
π[L, σ] M,u est exactement la représentation de ˜
M associée au triplet (L, σ, ˜
r)
d’après le lemme de XI.2.6 et le corolllaire XI.2.9.
Imposons maintenant à ˜
M la condition de minimalité précédente mais en
acceptant en plus que (L, σ) varie. Ainsi ˜
π M,u est la somme des représentations
elliptiques associées aux triplets (essentiels pour ˜
G) (L, σ, ˜
r) tels qu’à conjugaison
près (L, σ, ˜
r) soit un triplet elliptique pour ˜
M qui intervient dans ˜
π (les normalisations pour ˜
M sont celles imposées par les choix pour ˜
π comme cela a été fait en
XI.2.5). Ainsi la trace de ˜
M sur ˜
π M,u n’est pas nulle puisqu’un triplet (L, σ, ˜
r) qui
Chapitre XI. Appendice
Corollaire. Le lemme XI.2.6 est valable sur le corps de base R (sans hypothèse
sur W 0,σ ).
La preuve est la même que dans le cas non-archimédien, en utilisant le lemme
ci-dessus et le corolaire XI.2.8.
XI.2.10 Preuve du théorème de XI.2.3
Rappelons-en d’abord l’énoncé. On revient à une représentation ˜
π tempérée de
˜
G. On écrit ˜
π dans la base du groupe de Grothendieck des représentations de
˜
G définie par les couples ( ˜
M , ˜
τ ) (pris à conjugaison près sous G) où ˜
M est un
sous-espace de Levi de ˜
G et où ˜
τ en est une représentation elliptique irréductible,
c’est-à-dire correspondant à un triplet (L, σ, ˜
r) où L est un sous-groupe de Levi de
M , σ en est une série discrète irréductible et ˜
r est un élément régulier de ˜
R
˜
M du
˜
R-groupe de σ dans ˜
M (avec W
˜
M
0,σ = 1) (cf. [81] 2.12) et ces triplets sont essentiels
au sens de [81].
Par définition ˜
π est elliptique si dans cette décomposition il n’intervient que
les ˜
M qui coïncident avec ˜
G et le théorème dit que ceci est équivalent à ce que,
pour tout espace de Levi ˜
M de ˜
G, la trace de ˜
M dans les ˜
π M,u est nulle.
Montrons cela. pour L un sous-groupe de Levi de G et σ une série discrète
irréductible de L, on note ˜
π[L, σ] la somme des composantes de ˜
π correspondant
à des couples ˜
M , ˜
τ où (quitte à conjuguer ce couple sour G), ˜
M contient L et
˜
τ correspond à un triplet de la forme (L, σ, ˜
r) où L, σ sont les données fixées.
Donc ˜
π est la somme des ˜
π[L, σ] quand (L, σ) parcourt l’ensemble des classes de
conjugaison que l’on vient de décrire.
On fixe (L, σ) tel que ˜
π[L, σ] = 0 ; on fixe aussi ˜
M minimal tel que L soit
un sous-groupe de Levi de M vérifiant W
˜
M
0,σ = 1 et il existe ˜
r dans le ˜
R
˜
M et
˜
π[L, σ] contient avec un coefficient non nul la représentation de ˜
G associée au
triplet (L, σ, ˜
r) ; cela force, par construction, ce triplet a être essentiel pour ˜
G.
Montrons que la condition de minimalité sur ˜
M entraîne que ˜
π[L, σ] M,u est
une représentation elliptique de ˜
M : on fixe ˜
r tel que la représentation associée
à (L, σ, ˜
r) contribue à ˜
π[L, σ]. Si ˜
r n’est pas dans ˜
M alors la représentation ne
contribue pas au module de Jacquet ˜
π[L, σ] M,u d’après le lemme de XI.2.6 et le
corollaire XI.2.9. Et par minimalité de ˜
M , un élément ˜
r qui contribue est nécessairement régulier d’après [81] 2.11 et alors la contribution de cette représentation
à ˜
π[L, σ] M,u est exactement la représentation de ˜
M associée au triplet (L, σ, ˜
r)
d’après le lemme de XI.2.6 et le corolllaire XI.2.9.
Imposons maintenant à ˜
M la condition de minimalité précédente mais en
acceptant en plus que (L, σ) varie. Ainsi ˜
π M,u est la somme des représentations
elliptiques associées aux triplets (essentiels pour ˜
G) (L, σ, ˜
r) tels qu’à conjugaison
près (L, σ, ˜
r) soit un triplet elliptique pour ˜
M qui intervient dans ˜
π (les normalisations pour ˜
M sont celles imposées par les choix pour ˜
π comme cela a été fait en
XI.2.5). Ainsi la trace de ˜
M sur ˜
π M,u n’est pas nulle puisqu’un triplet (L, σ, ˜
r) qui