XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques
1267
d’espace de Levi ˜
L ∩ w
−1 ( ˜
M ) quand a ∈ A ˜
M tend vers l’infini en direction de ˜
P .
En appliquant (3) avec ˜
G remplacé par ˜
L, on obtient
D
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
= D
˜
L (a w w
−1 v
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L (a w w
−1 v
−1 (γ))
≡ D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (w
−1 v
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L
L∩w −1 (M),u (a w w
−1 v
−1 (γ))
= D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (w
−1 v
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L
L∩w −1 (M),u (w
−1 v
−1 (aγ))
Remarquons que l’on a l’égalité
D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M) (w
−1 v
−1 (γ)) = D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (a w w
−1 v
−1 (γ))
parce que a w appartient à A ˜
L∩w −1 ( ˜
M) . D’où aussi
D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (w
−1 v
−1 (γ)) = D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M) (w
−1 v
−1 (aγ)) = D
w( ˜
L)∩ ˜
M (v
−1 (aγ)).
En introduisant la fonction w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) sur w( ˜
L) ∩ ˜
M définie par
w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) (γ
) = θ
˜
L
L∩w −1 (M) (w
−1 (γ
)),
la formule ci-dessus devient
D
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ)) ≡ D
w( ˜
L)∩ ˜
M (v
−1 (aγ))w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) (v
−1 (aγ)).
Reportons cette formule dans (4). Pour la même raison que ci-dessus, on a l’égalité
D
˜
M (γ) = D
˜
M (aγ) et cette formule entraîne
θ
w (aγ) ≡ D
˜
M (aγ)
−1/2
v∈ ˜
W
M / ˜
W
M ∩w(L) ,
v
−1 (R)⊂w(L)∩M
D
w( ˜
L)∩ ˜
M (v
−1 (aγ))w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) (v
−1 (aγ)).
On reconnaiît cette expression grâce à la formule (2) où l’on remplace ˜
G par ˜
M .
C’est
θ
w (aγ) ≡ Ind
˜
M
w( ˜
L)∩ ˜
M
(w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) )(aγ).
En remontant le calcul, on obtient
θ M,u (aγ) ≡
w∈ ˜
W M \ ˜
W G / ˜
W L
Ind
˜
M
w( ˜
L)∩ ˜
M
(w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) )(aγ).
A gauche, on a la fonction associée à la trace de la représentation ˜
π M,u , évaluée en
aγ. A droite, on a la somme des fonctions associées aux traces des représentations
induites Ind
˜
M
˜
M ∩w( ˜
L)
w(˜ σ w −1 (M)∩L,u ), évaluées au même point. Leur différence tend
vers 0 quand a tend vers l’infini. Mais toutes les représentations sont tempérées,
donc les fonctions de a ci-dessus sont des sommes finies de caractères unitaires.
Leur différence ne peut tendre vers 0 que si les fonctions sont égales. Cela démontre
l’égalité de l’énoncé.
1267
d’espace de Levi ˜
L ∩ w
−1 ( ˜
M ) quand a ∈ A ˜
M tend vers l’infini en direction de ˜
P .
En appliquant (3) avec ˜
G remplacé par ˜
L, on obtient
D
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
= D
˜
L (a w w
−1 v
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L (a w w
−1 v
−1 (γ))
≡ D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (w
−1 v
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L
L∩w −1 (M),u (a w w
−1 v
−1 (γ))
= D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (w
−1 v
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L
L∩w −1 (M),u (w
−1 v
−1 (aγ))
Remarquons que l’on a l’égalité
D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M) (w
−1 v
−1 (γ)) = D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (a w w
−1 v
−1 (γ))
parce que a w appartient à A ˜
L∩w −1 ( ˜
M) . D’où aussi
D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M ) (w
−1 v
−1 (γ)) = D
˜
L∩w
−1 ( ˜
M) (w
−1 v
−1 (aγ)) = D
w( ˜
L)∩ ˜
M (v
−1 (aγ)).
En introduisant la fonction w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) sur w( ˜
L) ∩ ˜
M définie par
w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) (γ
) = θ
˜
L
L∩w −1 (M) (w
−1 (γ
)),
la formule ci-dessus devient
D
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ)) ≡ D
w( ˜
L)∩ ˜
M (v
−1 (aγ))w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) (v
−1 (aγ)).
Reportons cette formule dans (4). Pour la même raison que ci-dessus, on a l’égalité
D
˜
M (γ) = D
˜
M (aγ) et cette formule entraîne
θ
w (aγ) ≡ D
˜
M (aγ)
−1/2
v∈ ˜
W
M / ˜
W
M ∩w(L) ,
v
−1 (R)⊂w(L)∩M
D
w( ˜
L)∩ ˜
M (v
−1 (aγ))w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) (v
−1 (aγ)).
On reconnaiît cette expression grâce à la formule (2) où l’on remplace ˜
G par ˜
M .
C’est
θ
w (aγ) ≡ Ind
˜
M
w( ˜
L)∩ ˜
M
(w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) )(aγ).
En remontant le calcul, on obtient
θ M,u (aγ) ≡
w∈ ˜
W M \ ˜
W G / ˜
W L
Ind
˜
M
w( ˜
L)∩ ˜
M
(w.θ
˜
L
L∩w −1 (M) )(aγ).
A gauche, on a la fonction associée à la trace de la représentation ˜
π M,u , évaluée en
aγ. A droite, on a la somme des fonctions associées aux traces des représentations
induites Ind
˜
M
˜
M ∩w( ˜
L)
w(˜ σ w −1 (M)∩L,u ), évaluées au même point. Leur différence tend
vers 0 quand a tend vers l’infini. Mais toutes les représentations sont tempérées,
donc les fonctions de a ci-dessus sont des sommes finies de caractères unitaires.
Leur différence ne peut tendre vers 0 que si les fonctions sont égales. Cela démontre
l’égalité de l’énoncé.