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Chapitre XI. Appendice
Supposons maintenant que Θ
˜
L soit la distribution trace ˜
σ. Alors Θ est la
distribution trace ˜
π. On introduit la représentation ˜
π M,u de ˜
M . Sa distribution
associée est localement intégrable, on note θ M,u sa fonction associée. Par définition,
pour γ ∈ ˜
M , la limite de δ ˜
P (aγ)
1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ) est nulle quand a ∈ A ˜
M tend
vers l’infini en direction de ˜
P . On a aussi
(3) la limite de D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ) est nulle quand a ∈ A ˜
M
tend vers l’infini en direction de ˜
P .
En effet, on montre facilement que, γ étant fixé, la fonction
c(a) = D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 δ ˜
P (aγ)
−1/2
tend vers 1 quand a tend vers l’infini comme ci-dessus. L’expression (3) est alors
c(a)δ ˜
P (aγ)
1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ)
= c(a)(δ ˜
P (aγ)
1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ)) + (c(a) − 1)θ M,u (aγ).
Le premier facteur tend vers 0. Puisque ˜
π M,u est tempérée, la fonction a →
θ M,u (aγ) reste bornée. Multipliée par c(a) − 1, ce terme tend vers 0, d’où (3).
Fixons un espace de Levi ˜
R ∈ L contenu dans ˜
M et un élément γ ∈ ˜
R ell . Dans
le calcul qui suit, on considère des fonctions de a ∈ A ˜
M et, pour deux fonctions
a → u 1 (a) et a → u 2 (a), on note u 1 (a) ≡ u 2 (a) si la limite de u 1 (a) − u 2 (a) tend
vers 0 quand a ∈ A ˜
M tend vers l’infini en direction de ˜
P . D’après (3), on a ainsi
θ M,u (aγ) ≡ D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 θ(aγ).
On utilise la formule (2) pour calculer ce dernier terme. Puisque ˜
R ⊂ ˜
M , on
peut décomposer la somme en w en une somme en vw, où w parcourt maintenant
˜
W
M
\ ˜
W
G / ˜
W
L et v parcourt ˜
W
M / ˜
W
M∩w(L) . On obtient
D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 θ(aγ) =
w∈ ˜
W M \ ˜
W G / ˜
W L
θ
w (aγ),
où
(4)
θ
w (aγ) = D
˜
M (γ)
−1/2
v∈ ˜
W
M / ˜
W
M ∩w(L) ,
v
−1 (R)⊂w(L)∩M
D
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ)).
Fixons w. Puisque a ∈ A ˜
M , on a v
−1 (a) = a pour tout v ∈ ˜
W
M , d’où
w
−1 v
−1 (aγ) = a w w
−1 v
−1 (γ) où a w = w
−1 (a).
On a a w ∈ A ˜
L∩w −1 ( ˜
M) et, parce que w est de longueur minimale dans sa double
classe, a w tend vers l’infini en direction de l’espace parabolique standard de ˜
L
Chapitre XI. Appendice
Supposons maintenant que Θ
˜
L soit la distribution trace ˜
σ. Alors Θ est la
distribution trace ˜
π. On introduit la représentation ˜
π M,u de ˜
M . Sa distribution
associée est localement intégrable, on note θ M,u sa fonction associée. Par définition,
pour γ ∈ ˜
M , la limite de δ ˜
P (aγ)
1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ) est nulle quand a ∈ A ˜
M tend
vers l’infini en direction de ˜
P . On a aussi
(3) la limite de D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ) est nulle quand a ∈ A ˜
M
tend vers l’infini en direction de ˜
P .
En effet, on montre facilement que, γ étant fixé, la fonction
c(a) = D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 δ ˜
P (aγ)
−1/2
tend vers 1 quand a tend vers l’infini comme ci-dessus. L’expression (3) est alors
c(a)δ ˜
P (aγ)
1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ)
= c(a)(δ ˜
P (aγ)
1/2 θ(aγ) − θ M,u (aγ)) + (c(a) − 1)θ M,u (aγ).
Le premier facteur tend vers 0. Puisque ˜
π M,u est tempérée, la fonction a →
θ M,u (aγ) reste bornée. Multipliée par c(a) − 1, ce terme tend vers 0, d’où (3).
Fixons un espace de Levi ˜
R ∈ L contenu dans ˜
M et un élément γ ∈ ˜
R ell . Dans
le calcul qui suit, on considère des fonctions de a ∈ A ˜
M et, pour deux fonctions
a → u 1 (a) et a → u 2 (a), on note u 1 (a) ≡ u 2 (a) si la limite de u 1 (a) − u 2 (a) tend
vers 0 quand a ∈ A ˜
M tend vers l’infini en direction de ˜
P . D’après (3), on a ainsi
θ M,u (aγ) ≡ D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 θ(aγ).
On utilise la formule (2) pour calculer ce dernier terme. Puisque ˜
R ⊂ ˜
M , on
peut décomposer la somme en w en une somme en vw, où w parcourt maintenant
˜
W
M
\ ˜
W
G / ˜
W
L et v parcourt ˜
W
M / ˜
W
M∩w(L) . On obtient
D
˜
G (aγ)
1/2 D
˜
M (γ)
−1/2 θ(aγ) =
w∈ ˜
W M \ ˜
W G / ˜
W L
θ
w (aγ),
où
(4)
θ
w (aγ) = D
˜
M (γ)
−1/2
v∈ ˜
W
M / ˜
W
M ∩w(L) ,
v
−1 (R)⊂w(L)∩M
D
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 v
−1 (aγ)).
Fixons w. Puisque a ∈ A ˜
M , on a v
−1 (a) = a pour tout v ∈ ˜
W
M , d’où
w
−1 v
−1 (aγ) = a w w
−1 v
−1 (γ) où a w = w
−1 (a).
On a a w ∈ A ˜
L∩w −1 ( ˜
M) et, parce que w est de longueur minimale dans sa double
classe, a w tend vers l’infini en direction de l’espace parabolique standard de ˜
L