XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques
1265
quet ˜
π M,u défini en XI.2.7 se calcule par la même formule que dans le cas nonarchimédien. Faute de référence, on va donner une démonstration. Pour l’énoncer
commodément, fixons un sous-espace parabolique minimal ˜
P min = ˜
M min U min , d’où
un groupe de Weyl ˜
W
G = Norm G ( ˜
M min )/M min . On suppose que ˜
P et ˜
Q sont standard, c’est-à-dire qu’ils contiennent ˜
P min , et que ˜
M et ˜
L contiennent ˜
M min . On
identifie ˜
W
M
\ ˜
W
G / ˜
W
L à l’ensemble de représentants formés des éléments de ˜
W
G
de longueur minimale dans leur double classe.
Lemme. La trace de ˜
π M,u est la somme sur w ∈ ˜
W
M
\ ˜
W
G / ˜
W
L des traces des
représentations Ind
˜
M
˜
M ∩w( ˜
L)
w(˜ σ w −1 (M)∩L,u ).
Notons L l’ensemble des sous-espaces de Levi semi-standard de ˜
G, c’est-àdire ceux qui contiennent ˜
M min . Pour ˜
R ∈ L, notons ˜
R ell l’ensemble des éléments
elliptiques réguliers dans ˜
R et ˜
R ell / conj l’ensemble des classes de conjugaison par
R dans ˜
R ell / conj. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G). On sait que, pour des mesures convenables,
la formule d’intégration de Weyl peut s’écrire sous la forme
˜
G
f (γ) dγ =
˜
R∈L
| ˜
W
R
|| ˜
W
G
|
−1
˜
R ell / conj
D
˜
G (γ)
Gγ \G
f (g
−1 γg) dg dγ,
cf. [11] page 81. Soit Θ une distribution ω-équivariante localement intégrable,
c’est-à-dire donnée par une formule
Θ(f ) =
˜
G
θ(γ)f (γ) dγ,
où θ est une fonction localement intégrable telle que θ(g
−1 γg) = ω(g)θ(γ). La
formule précédente appliquée à l’intégrale ci-dessus devient
(1)
Θ(f ) =
˜
R∈L
| ˜
W
R
|| ˜
W
G
|
−1
˜
R ell / conj
D
˜
G (γ)
1/2 θ(γ)I
˜
G (γ, ω, f ) dγ
(une racine carrée de D
˜
G (γ) a été incorporée dans l’intégrale orbitale, par définition de celle-ci).
Considérons maintenant une distribution ω-équivariante Θ
˜
L sur ˜
L, localement intégrable donc associée à une fonction θ
˜
L sur ˜
L. On définit la distribution
induite Θ = Ind
˜
G
˜
L
Θ
˜
L de ˜
G par Θ(f ) = Θ
˜
L (f ˜
L ). Pour un élément assez régulier
γ ∈ ˜
L, on a l’égalité I
˜
L (γ, ω, f ˜
L ) = I
˜
G (γ, ω, f ). En utilisant cela et la formule (1)
appliquée à Θ
˜
L (f ˜
L ), on voit facilement que Θ est localement intégrable et que sa
fonction associée θ est déterminée par la formule suivante : pour ˜
R ∈ L et γ ∈ ˜
R ell ,
(2)
θ(γ) = D
˜
G (γ)
−1/2
w∈ ˜
W G / ˜
W L ,w −1 (R)⊂L
D
˜
L (w
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 (γ)).
On introduit la notation Ind
˜
G
˜
L
θ
˜
L = θ.
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quet ˜
π M,u défini en XI.2.7 se calcule par la même formule que dans le cas nonarchimédien. Faute de référence, on va donner une démonstration. Pour l’énoncer
commodément, fixons un sous-espace parabolique minimal ˜
P min = ˜
M min U min , d’où
un groupe de Weyl ˜
W
G = Norm G ( ˜
M min )/M min . On suppose que ˜
P et ˜
Q sont standard, c’est-à-dire qu’ils contiennent ˜
P min , et que ˜
M et ˜
L contiennent ˜
M min . On
identifie ˜
W
M
\ ˜
W
G / ˜
W
L à l’ensemble de représentants formés des éléments de ˜
W
G
de longueur minimale dans leur double classe.
Lemme. La trace de ˜
π M,u est la somme sur w ∈ ˜
W
M
\ ˜
W
G / ˜
W
L des traces des
représentations Ind
˜
M
˜
M ∩w( ˜
L)
w(˜ σ w −1 (M)∩L,u ).
Notons L l’ensemble des sous-espaces de Levi semi-standard de ˜
G, c’est-àdire ceux qui contiennent ˜
M min . Pour ˜
R ∈ L, notons ˜
R ell l’ensemble des éléments
elliptiques réguliers dans ˜
R et ˜
R ell / conj l’ensemble des classes de conjugaison par
R dans ˜
R ell / conj. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G). On sait que, pour des mesures convenables,
la formule d’intégration de Weyl peut s’écrire sous la forme
˜
G
f (γ) dγ =
˜
R∈L
| ˜
W
R
|| ˜
W
G
|
−1
˜
R ell / conj
D
˜
G (γ)
Gγ \G
f (g
−1 γg) dg dγ,
cf. [11] page 81. Soit Θ une distribution ω-équivariante localement intégrable,
c’est-à-dire donnée par une formule
Θ(f ) =
˜
G
θ(γ)f (γ) dγ,
où θ est une fonction localement intégrable telle que θ(g
−1 γg) = ω(g)θ(γ). La
formule précédente appliquée à l’intégrale ci-dessus devient
(1)
Θ(f ) =
˜
R∈L
| ˜
W
R
|| ˜
W
G
|
−1
˜
R ell / conj
D
˜
G (γ)
1/2 θ(γ)I
˜
G (γ, ω, f ) dγ
(une racine carrée de D
˜
G (γ) a été incorporée dans l’intégrale orbitale, par définition de celle-ci).
Considérons maintenant une distribution ω-équivariante Θ
˜
L sur ˜
L, localement intégrable donc associée à une fonction θ
˜
L sur ˜
L. On définit la distribution
induite Θ = Ind
˜
G
˜
L
Θ
˜
L de ˜
G par Θ(f ) = Θ
˜
L (f ˜
L ). Pour un élément assez régulier
γ ∈ ˜
L, on a l’égalité I
˜
L (γ, ω, f ˜
L ) = I
˜
G (γ, ω, f ). En utilisant cela et la formule (1)
appliquée à Θ
˜
L (f ˜
L ), on voit facilement que Θ est localement intégrable et que sa
fonction associée θ est déterminée par la formule suivante : pour ˜
R ∈ L et γ ∈ ˜
R ell ,
(2)
θ(γ) = D
˜
G (γ)
−1/2
w∈ ˜
W G / ˜
W L ,w −1 (R)⊂L
D
˜
L (w
−1 (γ))
1/2 θ
˜
L (w
−1 (γ)).
On introduit la notation Ind
˜
G
˜
L
θ
˜
L = θ.