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Chapitre XI. Appendice
On montre que (I
G
Q (σ)) N,u (défini de façon analogue à V N,u ) est la somme
directe des représentations I
M
Q ∩M (σ
) où Q
∩ M est un sous-groupe parabolique
de M contenant un sous-groupe de Levi L
tel que L
, σ
soit conjugué de L, σ,
ces couples étant pris à association près sous l’action de M : c’est un calcul sur
le caractère des induites (cf. par exemple [40] page 122 preuve de (b) ; le ν de
[40] est ici n’importe quel caractère unitaire sachant qu’un tel caractère est extrêmal). Par semi-simplicité, (I
G
Q (σ)) N,u est la somme directe des V N,u quand π
parcourt l’ensemble des sous-représentations de l’induite I
G
Q (σ) ; par réciprocité
de Frobenius, V N,u admet comme quotient la somme directe des représentations
τ ⊗ Hom G (π, I
G
P (τ )) où τ parcourt l’ensemble des représentations tempérées de M
et coïncide donc avec ce quotient. Ainsi V N,u est semi-simple en tant que représentation de M . D’autre part V M,u a exactement les mêmes propriétés que V N,u
pour la réciprocité de Frobenius (cf. ci-dessus) ; ceci force le fait que l’application
naturelle de V N,u sur V M,u soit un isomorphisme. Pour finir, un referee nous a
fait remarquer que l’on ne pouvait pas dire que cette démonstration était tirée de
[39]. Nous pensons tout de même qu’elle est due à Harish-Chandra, même si [39]
ne fait qu’en esquisser les idées.
XI.2.8 Calcul des modules de Jacquet dans le cas archimédien
Soit ˜
π une représentation de ˜
G associée à un triplet essentiel (L, σ, ˜
r) (cf. [81]
2.12). Et soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On définit ˜
π M,u en sommant sur les
espaces définis dans le paragraphe précédent pour une représentation tempérée
irréductible. Alors on a :
Corollaire. On suppose W 0,σ = 1. La trace de ˜
M dans ˜
π M,u est nulle si (L, σ, ˜
r)
n’est pas conjugué d’un triplet essentiel pour ˜
M . On suppose maintenant que L est
inclus dans M , alors la trace est la somme des traces de ˜
M sur les représentations
associées aux triplets (L, σ, ˜
r
) où ˜
r
parcourt l’ensemble des conjugués sous ˜
R de ˜
r
inclus dans ˜
M , pour une normalisation convenable. Précisément, la représentation
associée à un tel triplet (L, σ, ˜
r
) intervient avec la multiplicité [Z R (˜ r
) : Z R M (˜ r
)]
Toutes les représentations intervenant dans cet énoncé, y compris ˜
π, dépendent de la normalisation des opérateurs d’entrelacement relatifs à σ et il faut
bien sûr choisir les mêmes opérateurs normalisés pour définir chacune d’elles.
Ce corollaire est un corollaire de la preuve du lemme précédent : en effet dans
le lemme précédent on a calculé ˜
π M,u exactement dans les mêmes termes que dans
le cas non-archimédien. La démonstration de XI.2.5 ne fait ensuite qu’utiliser les
résultats de [11] qui sont valables dans le cas archimédien. D’où le corollaire.
XI.2.9 Une formule d’induction
Soient ˜
Q = ˜
LU
Q et ˜
P = ˜
MU
P deux sous-espaces paraboliques de ˜
G. Soit ˜
σ
une ω-représentation tempérée de ˜
L, posons ˜
π = Ind
˜
G
˜
Q
(˜ σ). Le module de Jac-
Chapitre XI. Appendice
On montre que (I
G
Q (σ)) N,u (défini de façon analogue à V N,u ) est la somme
directe des représentations I
M
Q ∩M (σ
) où Q
∩ M est un sous-groupe parabolique
de M contenant un sous-groupe de Levi L
tel que L
, σ
soit conjugué de L, σ,
ces couples étant pris à association près sous l’action de M : c’est un calcul sur
le caractère des induites (cf. par exemple [40] page 122 preuve de (b) ; le ν de
[40] est ici n’importe quel caractère unitaire sachant qu’un tel caractère est extrêmal). Par semi-simplicité, (I
G
Q (σ)) N,u est la somme directe des V N,u quand π
parcourt l’ensemble des sous-représentations de l’induite I
G
Q (σ) ; par réciprocité
de Frobenius, V N,u admet comme quotient la somme directe des représentations
τ ⊗ Hom G (π, I
G
P (τ )) où τ parcourt l’ensemble des représentations tempérées de M
et coïncide donc avec ce quotient. Ainsi V N,u est semi-simple en tant que représentation de M . D’autre part V M,u a exactement les mêmes propriétés que V N,u
pour la réciprocité de Frobenius (cf. ci-dessus) ; ceci force le fait que l’application
naturelle de V N,u sur V M,u soit un isomorphisme. Pour finir, un referee nous a
fait remarquer que l’on ne pouvait pas dire que cette démonstration était tirée de
[39]. Nous pensons tout de même qu’elle est due à Harish-Chandra, même si [39]
ne fait qu’en esquisser les idées.
XI.2.8 Calcul des modules de Jacquet dans le cas archimédien
Soit ˜
π une représentation de ˜
G associée à un triplet essentiel (L, σ, ˜
r) (cf. [81]
2.12). Et soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On définit ˜
π M,u en sommant sur les
espaces définis dans le paragraphe précédent pour une représentation tempérée
irréductible. Alors on a :
Corollaire. On suppose W 0,σ = 1. La trace de ˜
M dans ˜
π M,u est nulle si (L, σ, ˜
r)
n’est pas conjugué d’un triplet essentiel pour ˜
M . On suppose maintenant que L est
inclus dans M , alors la trace est la somme des traces de ˜
M sur les représentations
associées aux triplets (L, σ, ˜
r
) où ˜
r
parcourt l’ensemble des conjugués sous ˜
R de ˜
r
inclus dans ˜
M , pour une normalisation convenable. Précisément, la représentation
associée à un tel triplet (L, σ, ˜
r
) intervient avec la multiplicité [Z R (˜ r
) : Z R M (˜ r
)]
Toutes les représentations intervenant dans cet énoncé, y compris ˜
π, dépendent de la normalisation des opérateurs d’entrelacement relatifs à σ et il faut
bien sûr choisir les mêmes opérateurs normalisés pour définir chacune d’elles.
Ce corollaire est un corollaire de la preuve du lemme précédent : en effet dans
le lemme précédent on a calculé ˜
π M,u exactement dans les mêmes termes que dans
le cas non-archimédien. La démonstration de XI.2.5 ne fait ensuite qu’utiliser les
résultats de [11] qui sont valables dans le cas archimédien. D’où le corollaire.
XI.2.9 Une formule d’induction
Soient ˜
Q = ˜
LU
Q et ˜
P = ˜
MU
P deux sous-espaces paraboliques de ˜
G. Soit ˜
σ
une ω-représentation tempérée de ˜
L, posons ˜
π = Ind
˜
G
˜
Q
(˜ σ). Le module de Jac-