XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques
1263
celui pour ˜
π coïncident ; on note V 0 le sous-espace de V formé des éléments tels
que le terme constant de tout coefficient matriciel dont un des éléments est dans
V 0 est nul. On pose V := V/V 0 ; c’est une représentation pour M, ˜
M , admissible
(c’est un quotient de l’homologie en degré 0 pour le radical unipotent de P qui est
une représentation admissible d’après [84] section 5.8). D’après [39] 5.6, le terme
constant θ π,P en tant que fonction sur M est le caractère pour l’action de M sur
V . En effet, soit v, v
des éléments de V et V
(le dual lisse de V ) donnant lieu à
un coefficient matriciel ; dans V
on considère l’orthogonal de V 0 noté V
⊥
0 . On note
p, p
la projection de V sur V et celle de V
⊥
0 sur le dual lisse de V . La distribution
f → →π(f )v, v
est tempérée et son terme constant est caractérisé, d’après[39] 2.1,
par la valeur de la distribution sur les fonctions à support compact dans N M N
où N est le radical unipotent du parabolique opposé à P . Or pour v
∈ V
⊥
0 et
nmn dans cette décomposition, on a :
p(π(nmn)v), p
(v
) = π(m)p(v), p
(v
) .
Ainsi (à la constante près définie par [39] qui vient des mesures), le terme constant
du coefficient matriciel associé à v, v
est le coefficient matriciel associé à p(v),
p
(v
). On en déduit ensuite l’assertion de [39] 5.6. Ainsi la même assertion est
vraie dans le cas tordu c’est-à-dire pour ˜
π et l’action de ˜
M dans V : θ ˜
π, ˜
P est la
trace de ˜
M opérant dans V .
On note V M,u le sous-espace de V sur lequel le tore déployé maximal du
centre de M opère par des caractères généralisés unitaires. C’est une représentation
pour M et pour ˜
M . On note ˜
π M,u la représentation de ˜
M dans V M,u .
On note n l’algèbre de Lie du radical unipotent de P et on définit aussi, V N,u
le sous-espace de H 0 (n, V ) (l’homologie en degré 0) sur lequel le tore déployé du
centre de M agit par des caractères généralisés unitaires. Il existe une application naturelle surjective de V N,u sur V M,u , M, ˜
M équivariante. Sous l’hypothèse
que la représentation V est tempérée, les exposants unitaires sont nécessairement
maximaux.
Lemme. Soit V une représentation tempérée de G donc sous-module d’une induite
de série discrète, σ, (uniquement déterminée) ; on suppose que W 0,σ = 1. L’application naturelle de V N,u dans V M,u est une bijection et chacun de ces espaces est
une représentation semi-simple de M .
On note σ, L, Q un triplet formé d’un sous-groupe parabolique Q de G, d’un
sous-groupe de Levi L de Q et d’une série discrète unitaire σ de L tel que π soit
sous-quotient de l’induite I
G
Q (σ). On vérifie d’abord que V N,u = 0 si M ne contient
pas un conjugué de L : en effet supposons que V N,u ne soit pas nul. Alors il existe
un quotient irréductible τ (qui est nécessairement une représentation tempérée)
de cette représentation et par la réciprocité de Frobenius, π est une sous-module
de l’induite de τ . Ainsi τ est un sous-quotient d’une induite I
M
Q ∩M (σ
) de série
discrète pour M . Par unicité des données, le couple L, σ est conjugué du couple
L
, σ
où L
est un sous-groupe de Levi convenable de Q
∩ M . D’où l’assertion.
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celui pour ˜
π coïncident ; on note V 0 le sous-espace de V formé des éléments tels
que le terme constant de tout coefficient matriciel dont un des éléments est dans
V 0 est nul. On pose V := V/V 0 ; c’est une représentation pour M, ˜
M , admissible
(c’est un quotient de l’homologie en degré 0 pour le radical unipotent de P qui est
une représentation admissible d’après [84] section 5.8). D’après [39] 5.6, le terme
constant θ π,P en tant que fonction sur M est le caractère pour l’action de M sur
V . En effet, soit v, v
des éléments de V et V
(le dual lisse de V ) donnant lieu à
un coefficient matriciel ; dans V
on considère l’orthogonal de V 0 noté V
⊥
0 . On note
p, p
la projection de V sur V et celle de V
⊥
0 sur le dual lisse de V . La distribution
f → →π(f )v, v
est tempérée et son terme constant est caractérisé, d’après[39] 2.1,
par la valeur de la distribution sur les fonctions à support compact dans N M N
où N est le radical unipotent du parabolique opposé à P . Or pour v
∈ V
⊥
0 et
nmn dans cette décomposition, on a :
p(π(nmn)v), p
(v
) = π(m)p(v), p
(v
) .
Ainsi (à la constante près définie par [39] qui vient des mesures), le terme constant
du coefficient matriciel associé à v, v
est le coefficient matriciel associé à p(v),
p
(v
). On en déduit ensuite l’assertion de [39] 5.6. Ainsi la même assertion est
vraie dans le cas tordu c’est-à-dire pour ˜
π et l’action de ˜
M dans V : θ ˜
π, ˜
P est la
trace de ˜
M opérant dans V .
On note V M,u le sous-espace de V sur lequel le tore déployé maximal du
centre de M opère par des caractères généralisés unitaires. C’est une représentation
pour M et pour ˜
M . On note ˜
π M,u la représentation de ˜
M dans V M,u .
On note n l’algèbre de Lie du radical unipotent de P et on définit aussi, V N,u
le sous-espace de H 0 (n, V ) (l’homologie en degré 0) sur lequel le tore déployé du
centre de M agit par des caractères généralisés unitaires. Il existe une application naturelle surjective de V N,u sur V M,u , M, ˜
M équivariante. Sous l’hypothèse
que la représentation V est tempérée, les exposants unitaires sont nécessairement
maximaux.
Lemme. Soit V une représentation tempérée de G donc sous-module d’une induite
de série discrète, σ, (uniquement déterminée) ; on suppose que W 0,σ = 1. L’application naturelle de V N,u dans V M,u est une bijection et chacun de ces espaces est
une représentation semi-simple de M .
On note σ, L, Q un triplet formé d’un sous-groupe parabolique Q de G, d’un
sous-groupe de Levi L de Q et d’une série discrète unitaire σ de L tel que π soit
sous-quotient de l’induite I
G
Q (σ). On vérifie d’abord que V N,u = 0 si M ne contient
pas un conjugué de L : en effet supposons que V N,u ne soit pas nul. Alors il existe
un quotient irréductible τ (qui est nécessairement une représentation tempérée)
de cette représentation et par la réciprocité de Frobenius, π est une sous-module
de l’induite de τ . Ainsi τ est un sous-quotient d’une induite I
M
Q ∩M (σ
) de série
discrète pour M . Par unicité des données, le couple L, σ est conjugué du couple
L
, σ
où L
est un sous-groupe de Levi convenable de Q
∩ M . D’où l’assertion.