1262
Chapitre XI. Appendice
XI.2.6 Le calcul en général
Ici, on lève l’hypothèse W 0,σ = 1 posée dans les paragraphes précédents. On fixe
L, σ et ˜
r dans le ˜
R-groupe de l’induite de σ. On note ˜
π la représentation de
˜
G déterminée par ce triplet. On considère un espace de Levi ˜
M de ˜
G et on va
calculer ˜
π M,u . On sait qu’il existe un espace de Levi ˜
M
de ˜
G tel que L ⊆ M
, que
˜
r ∈ ˜
R
M
et que le triplet (L, σ, ˜
r) soit elliptique dans ˜
M
. On fixe un tel espace
et on suppose pour simplifier que ˜
M
et ˜
M contiennent un même espace de Levi
minimal ˜
M 0 . On note W
˜
G = Norm G ( ˜
M 0 )/M 0 .
Lemme. La représentation ˜
π M,u est somme des représentations de ˜
M associées
aux triplets w(L, σ, ˜
r) quand w décrit l’ensemble des éléments de W
˜
M
\W
˜
G /W
˜
M
tels que w( ˜
M
) ⊂ ˜
M .
Notons que, si ˜
π est elliptique, c’est-à-dire ˜
M
= ˜
G, ce lemme dit que ˜
π M,u =
0 si ˜
M est propre (et évidemment ˜
π G,u = ˜
π). Cela résulte immédiatement du
corollaire précédent puisqu’alors l’hypothèse W 0,σ est vérifiée et que, si ˜
M est
propre, il ne contient aucun conjugué de (L, σ, ˜
r). Passons au cas général. On note
˜
π
la représentation de ˜
M
associée à (L, σ, ˜
r). La formule de Bernstein–Zelevinsky
calculant les modules de Jacquet des induites a été généralisée au cas tordu par
Henniart et Lemaire [42] 2.10. Cette formule s’adapte immédiatement aux modules
de Jacquet unitaires et on obtient que ˜
π M,u est la somme sur w ∈ W
˜
M
\W
˜
G /W
˜
M
des induites à ˜
M des représentations w(˜ π
w −1 (M)∩M ,u ) de w( ˜
M
) ∩ ˜
M . Puisque ˜
π
est elliptique dans ˜
M
, la représentation ˜
π
w −1 (M)∩M ,u se calcule comme on vient
de le voir ci-dessus : elle est nulle si w
−1 (M ) ne contient pas M
(ce qui équivaut
à w
−1 ( ˜
M ) ne contient pas ˜
M
) et elle est égale à ˜
π
si w
−1 (M ) contient M
. Le
lemme en résulte.
XI.2.7 Le cas archimédien
Ici on suppose que F = R puisque le cas F = C en résulte par restriction des
scalaires. On fixe, comme précédemment, un sous-espace de Levi ˜
M de ˜
G et on
note ˜
P un espace parabolique d’espace de Levi ˜
M . On note P et M les sous-groupes
correspondant à ˜
P et ˜
M .
Harish-Chandra a défini le terme constant le long de P pour des fonctions
satisfaisant des conditions de croissance en [38] section 21 ; en [39] théorèmes 1 et
2, il étend cette définition aux distributions tempérées.
Soit π, ˜
π une représentation de G, ˜
G que l’on suppose tempérée ; on rappelle
que d’après [29] 3.5.1, le caractère de ˜
π est tempéré au sens d’Harish-Chandra.
On définit alors le terme constant du caractère de π et de ˜
π, notée θ π,P et θ ˜
π,P
respectivement.
En [39] 5.6, Harish-Chandra a donné une interprétation de θ π,P . En effet,
notons V un espace de π. L’espace vectoriel des coefficients matriciels pour π et
Chapitre XI. Appendice
XI.2.6 Le calcul en général
Ici, on lève l’hypothèse W 0,σ = 1 posée dans les paragraphes précédents. On fixe
L, σ et ˜
r dans le ˜
R-groupe de l’induite de σ. On note ˜
π la représentation de
˜
G déterminée par ce triplet. On considère un espace de Levi ˜
M de ˜
G et on va
calculer ˜
π M,u . On sait qu’il existe un espace de Levi ˜
M
de ˜
G tel que L ⊆ M
, que
˜
r ∈ ˜
R
M
et que le triplet (L, σ, ˜
r) soit elliptique dans ˜
M
. On fixe un tel espace
et on suppose pour simplifier que ˜
M
et ˜
M contiennent un même espace de Levi
minimal ˜
M 0 . On note W
˜
G = Norm G ( ˜
M 0 )/M 0 .
Lemme. La représentation ˜
π M,u est somme des représentations de ˜
M associées
aux triplets w(L, σ, ˜
r) quand w décrit l’ensemble des éléments de W
˜
M
\W
˜
G /W
˜
M
tels que w( ˜
M
) ⊂ ˜
M .
Notons que, si ˜
π est elliptique, c’est-à-dire ˜
M
= ˜
G, ce lemme dit que ˜
π M,u =
0 si ˜
M est propre (et évidemment ˜
π G,u = ˜
π). Cela résulte immédiatement du
corollaire précédent puisqu’alors l’hypothèse W 0,σ est vérifiée et que, si ˜
M est
propre, il ne contient aucun conjugué de (L, σ, ˜
r). Passons au cas général. On note
˜
π
la représentation de ˜
M
associée à (L, σ, ˜
r). La formule de Bernstein–Zelevinsky
calculant les modules de Jacquet des induites a été généralisée au cas tordu par
Henniart et Lemaire [42] 2.10. Cette formule s’adapte immédiatement aux modules
de Jacquet unitaires et on obtient que ˜
π M,u est la somme sur w ∈ W
˜
M
\W
˜
G /W
˜
M
des induites à ˜
M des représentations w(˜ π
w −1 (M)∩M ,u ) de w( ˜
M
) ∩ ˜
M . Puisque ˜
π
est elliptique dans ˜
M
, la représentation ˜
π
w −1 (M)∩M ,u se calcule comme on vient
de le voir ci-dessus : elle est nulle si w
−1 (M ) ne contient pas M
(ce qui équivaut
à w
−1 ( ˜
M ) ne contient pas ˜
M
) et elle est égale à ˜
π
si w
−1 (M ) contient M
. Le
lemme en résulte.
XI.2.7 Le cas archimédien
Ici on suppose que F = R puisque le cas F = C en résulte par restriction des
scalaires. On fixe, comme précédemment, un sous-espace de Levi ˜
M de ˜
G et on
note ˜
P un espace parabolique d’espace de Levi ˜
M . On note P et M les sous-groupes
correspondant à ˜
P et ˜
M .
Harish-Chandra a défini le terme constant le long de P pour des fonctions
satisfaisant des conditions de croissance en [38] section 21 ; en [39] théorèmes 1 et
2, il étend cette définition aux distributions tempérées.
Soit π, ˜
π une représentation de G, ˜
G que l’on suppose tempérée ; on rappelle
que d’après [29] 3.5.1, le caractère de ˜
π est tempéré au sens d’Harish-Chandra.
On définit alors le terme constant du caractère de π et de ˜
π, notée θ π,P et θ ˜
π,P
respectivement.
En [39] 5.6, Harish-Chandra a donné une interprétation de θ π,P . En effet,
notons V un espace de π. L’espace vectoriel des coefficients matriciels pour π et