XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques
1261
Par rapport au paragraphe précédent, on a inversé l’ordre des choix et on les rend
compatibles aux choix faits pour ˜
G. On induit (1), comme en [11] et pour tout
˜
γ ∈ ˜
G semi-simple régulier, pour cela il faut remarquer que pour w
∈ R et pour
˜
w ∈ ˜
R on a
tr (N (w
˜
w(w
)
−1 , σ)I
G
Q (σ)(w
˜
w
−1 (w
)
−1 ˜
γ)) = tr (N ( ˜
w, σ)I
G
Q (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)).
C’est l’analogue de l’assertion de [11] avant dernière formule de la page 89. Et ceci
résulte des définitions, pour tout w
∈ ˜
R
(2)
tr (N ( ˜
w , σ)I
G
Q (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)) =
ρ
χ ˜
ρ (w
) tr ˜
ρ(˜ γ).
Maintenant on peut induire (1) pour obtenir :
(3)
tr Ind ˜
τ (˜ γ) = |R|
−1
˜
w∈ ˜
R
tr ind(χ ˜
τ )( ˜
w) tr (N ( ˜
w, σ)I
G
Q (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)).
En reportant (2) dans (3), on trouve que
tr Ind ˜
τ (˜ γ) =
ρ
(|R|
−1
˜
w∈ ˜
R
tr ind(χ ˜
τ )( ˜
w) tr χ ˜
ρ ( ˜
w)) tr ˜
ρ(˜ γ).
Le terme entre parenthèses (|R|
−1
˜
w∈ ˜
R tr ind(χ ˜
τ )( ˜
w) tr χ ˜
ρ ( ˜
w)) est un scalaire
qui calcule la ”multiplicité” de χ ˜
ρ dans l’induite de χ ˜
τ et que l’on note x(˜ τ , ˜
ρ).
Avec ces choix, pour tout ˜
ρ intervenant ci-dessus, Hom G (Ind ˜
τ, ˜
ρ) a précisément
pour action diagonale de ˜
G un opérateur dont la trace est ce scalaire x(˜ τ , ˜
ρ).
Lemme. Soit ˜
r ∈ ˜
R. L’action de ˜
G dans Hom G (Ind ˜
τ, π ˜
r ) a pour trace la trace de
˜
r agissant dans ind χ ˜
τ , c’est-à-dire tr ind(χ ˜
τ )(˜ r).
Par définition π ˜
r vaut
˜
ρ tr ˜
ρ(˜ r)˜ ρ et avec les calculs fait ci-dessus, la trace
cherchée vaut
˜
ρ x(˜ τ , ˜
ρ) tr ˜
ρ(˜ r) ou encore tr ind(χ ˜
τ )(˜ r).
Lemme. Avec les notations précédentes, la trace de l’action de ˜
M dans
Hom M (˜ τ , π ˜
r,M,u )
est tr ind(χ ˜
τ )(˜ r). En particulier cette trace est nulle si ˜
r n’est pas conjugué d’un
élément de ˜
M .
On obtient ce lemme à partir du lemme précédant en remarquant que la
réciprocité de Frobenius identifie Hom M (˜ τ , π ˜
r,M ) et Hom G (Ind ˜
τ , π ˜
r ). Or ˜
M/M =
˜
G/G et l’identification est compatible à l’action de ˜
M .
Corollaire. Avec les notations précédentes et en supposant que L est inclus dans M ,
alors ˜
π ˜
r,M,u est la somme des représentations de ˜
M associées aux triplets (L, σ, ˜
r
)
où ˜
r
parcourt les conjugués de ˜
r inclus dans ˜
M . Précisément, la représentation
associée à un tel triplet (L, σ, ˜
r
) intervient avec la multiplicité [Z R (˜ r
) : Z R M (˜ r
)],
où Z R (˜ r
) et Z R M (˜ r
) sont les commutants de ˜
r
dans R et R
M .
C’est un corollaire du lemme précédent.
1261
Par rapport au paragraphe précédent, on a inversé l’ordre des choix et on les rend
compatibles aux choix faits pour ˜
G. On induit (1), comme en [11] et pour tout
˜
γ ∈ ˜
G semi-simple régulier, pour cela il faut remarquer que pour w
∈ R et pour
˜
w ∈ ˜
R on a
tr (N (w
˜
w(w
)
−1 , σ)I
G
Q (σ)(w
˜
w
−1 (w
)
−1 ˜
γ)) = tr (N ( ˜
w, σ)I
G
Q (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)).
C’est l’analogue de l’assertion de [11] avant dernière formule de la page 89. Et ceci
résulte des définitions, pour tout w
∈ ˜
R
(2)
tr (N ( ˜
w , σ)I
G
Q (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)) =
ρ
χ ˜
ρ (w
) tr ˜
ρ(˜ γ).
Maintenant on peut induire (1) pour obtenir :
(3)
tr Ind ˜
τ (˜ γ) = |R|
−1
˜
w∈ ˜
R
tr ind(χ ˜
τ )( ˜
w) tr (N ( ˜
w, σ)I
G
Q (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)).
En reportant (2) dans (3), on trouve que
tr Ind ˜
τ (˜ γ) =
ρ
(|R|
−1
˜
w∈ ˜
R
tr ind(χ ˜
τ )( ˜
w) tr χ ˜
ρ ( ˜
w)) tr ˜
ρ(˜ γ).
Le terme entre parenthèses (|R|
−1
˜
w∈ ˜
R tr ind(χ ˜
τ )( ˜
w) tr χ ˜
ρ ( ˜
w)) est un scalaire
qui calcule la ”multiplicité” de χ ˜
ρ dans l’induite de χ ˜
τ et que l’on note x(˜ τ , ˜
ρ).
Avec ces choix, pour tout ˜
ρ intervenant ci-dessus, Hom G (Ind ˜
τ, ˜
ρ) a précisément
pour action diagonale de ˜
G un opérateur dont la trace est ce scalaire x(˜ τ , ˜
ρ).
Lemme. Soit ˜
r ∈ ˜
R. L’action de ˜
G dans Hom G (Ind ˜
τ, π ˜
r ) a pour trace la trace de
˜
r agissant dans ind χ ˜
τ , c’est-à-dire tr ind(χ ˜
τ )(˜ r).
Par définition π ˜
r vaut
˜
ρ tr ˜
ρ(˜ r)˜ ρ et avec les calculs fait ci-dessus, la trace
cherchée vaut
˜
ρ x(˜ τ , ˜
ρ) tr ˜
ρ(˜ r) ou encore tr ind(χ ˜
τ )(˜ r).
Lemme. Avec les notations précédentes, la trace de l’action de ˜
M dans
Hom M (˜ τ , π ˜
r,M,u )
est tr ind(χ ˜
τ )(˜ r). En particulier cette trace est nulle si ˜
r n’est pas conjugué d’un
élément de ˜
M .
On obtient ce lemme à partir du lemme précédant en remarquant que la
réciprocité de Frobenius identifie Hom M (˜ τ , π ˜
r,M ) et Hom G (Ind ˜
τ , π ˜
r ). Or ˜
M/M =
˜
G/G et l’identification est compatible à l’action de ˜
M .
Corollaire. Avec les notations précédentes et en supposant que L est inclus dans M ,
alors ˜
π ˜
r,M,u est la somme des représentations de ˜
M associées aux triplets (L, σ, ˜
r
)
où ˜
r
parcourt les conjugués de ˜
r inclus dans ˜
M . Précisément, la représentation
associée à un tel triplet (L, σ, ˜
r
) intervient avec la multiplicité [Z R (˜ r
) : Z R M (˜ r
)],
où Z R (˜ r
) et Z R M (˜ r
) sont les commutants de ˜
r
dans R et R
M .
C’est un corollaire du lemme précédent.