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Chapitre XI. Appendice
d’après [43], le semi-simplifié de π M,u est la somme directe des τ , sous-modules
irréductibles de I
M
Q∩M (σ), chacun intervenant avec multiplicité la multiplicité de
π dans l’induite I
G
P (τ ) de τ à G, où P est un parabolique de Levi M . Mais par la
réciprocité de Frobenius,
(1)
Hom G (π, I(τ )) Hom M (π M , τ) = Hom M (π M,u , τ).
Ainsi τ intervient comme quotient irréductible de π avec cette même multiplicité.
D’où la semi-simplicité.
On suppose que π M,u n’est pas nul et on suppose donc que M contient L.
On a alors clairement le corollaire suivant :
Corollaire. On suppose que W 0,σ = {1}. La représentation de ˜
M , ˜
π M,u a même
trace que la trace de la représentation ⊕ τ τ ⊗ Hom M (τ, π M,u ) où l’action de ˜
M se
fait sur π M,u et où τ parcourt l’ensemble des sous-M -représentations irréductibles
(prises à isomorphisme près) incluses dans Ind
M
Q∩M (σ).
XI.2.5 Calcul de la trace tordue sur les modules de Jacquet
Évidemment, dans le corollaire précédent, on peut ne considérer que les représentations τ stables sous-l’action par conjugaison de ˜
M , et donc construire une
représentation ˜
τ . Ainsi ⊕ ˜
τ ˜
τ ⊗ Hom M (˜ τ , ˜
π M,u ) a une action de ˜
M le produit tensoriel de l’action de ˜
M sur ˜
τ avec l’action diagonale sur Hom M (˜ τ , ˜
π M,u ) qui s’en
déduit ; cette action diagonale est évidemment triviale sur M et donne donc uniquement un opérateur, qui est l’action de ˜
M /M . Il faut interpréter ce scalaire à
l’aide du ˜
R-groupe.
On fixe L, σ, Q et ˜
r dans le ˜
R-groupe de l’induite de σ. On a donc défini
π ˜
r ; c’est une représentation virtuelle et ses modules de Jacquet sont bien définis.
Avec un espace de Levi ˜
M de ˜
G comme dans le paragraphe précédent, on a donc
défini π ˜
r, ˜
M,u qui est une représentation semi-simple de ˜
M . On suppose toujours
W 0,σ = 1. Comme ci-dessus, la trace de l’action de ˜
M sur ce module de Jacquet
est la somme des traces sur chacune des composantes : ˜
τ ⊗ Hom M (˜ τ , ˜
π M,u ).
On revient à [11] page 88 et 89 pour fixer de façon compatible les extensions
des représentations. On a fixé des opérateurs N (w, σ) pour tout w ∈ ˜
R opérant
dans Ind
G
Q (σ). Si w ∈ ˜
R M , cet opérateur est induit d’un opérateur analogue sur
Ind
M
Q∩M (σ) car ˜
M est un espace de Levi de ˜
G. Pour toute sous-représentation
irréductible de R M , χ τ intervenant pour l’action de R M dans la décomposition de
l’induite Ind
M
Q∩M (σ), stable sous ˜
R M , on fixe une extension χ ˜
τ et on définit ˜
τ la
représentation irréductible de ˜
M par sa trace : pour tout ˜
γ semi-simple régulier
dans ˜
M :
(1)
tr ˜
τ (˜ γ) := |R M |
−1
˜
w∈ ˜
RM
tr χ ˜
τ ( ˜
w) tr (N ( ˜
w, σ)I
M
Q∩M (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)).
Chapitre XI. Appendice
d’après [43], le semi-simplifié de π M,u est la somme directe des τ , sous-modules
irréductibles de I
M
Q∩M (σ), chacun intervenant avec multiplicité la multiplicité de
π dans l’induite I
G
P (τ ) de τ à G, où P est un parabolique de Levi M . Mais par la
réciprocité de Frobenius,
(1)
Hom G (π, I(τ )) Hom M (π M , τ) = Hom M (π M,u , τ).
Ainsi τ intervient comme quotient irréductible de π avec cette même multiplicité.
D’où la semi-simplicité.
On suppose que π M,u n’est pas nul et on suppose donc que M contient L.
On a alors clairement le corollaire suivant :
Corollaire. On suppose que W 0,σ = {1}. La représentation de ˜
M , ˜
π M,u a même
trace que la trace de la représentation ⊕ τ τ ⊗ Hom M (τ, π M,u ) où l’action de ˜
M se
fait sur π M,u et où τ parcourt l’ensemble des sous-M -représentations irréductibles
(prises à isomorphisme près) incluses dans Ind
M
Q∩M (σ).
XI.2.5 Calcul de la trace tordue sur les modules de Jacquet
Évidemment, dans le corollaire précédent, on peut ne considérer que les représentations τ stables sous-l’action par conjugaison de ˜
M , et donc construire une
représentation ˜
τ . Ainsi ⊕ ˜
τ ˜
τ ⊗ Hom M (˜ τ , ˜
π M,u ) a une action de ˜
M le produit tensoriel de l’action de ˜
M sur ˜
τ avec l’action diagonale sur Hom M (˜ τ , ˜
π M,u ) qui s’en
déduit ; cette action diagonale est évidemment triviale sur M et donne donc uniquement un opérateur, qui est l’action de ˜
M /M . Il faut interpréter ce scalaire à
l’aide du ˜
R-groupe.
On fixe L, σ, Q et ˜
r dans le ˜
R-groupe de l’induite de σ. On a donc défini
π ˜
r ; c’est une représentation virtuelle et ses modules de Jacquet sont bien définis.
Avec un espace de Levi ˜
M de ˜
G comme dans le paragraphe précédent, on a donc
défini π ˜
r, ˜
M,u qui est une représentation semi-simple de ˜
M . On suppose toujours
W 0,σ = 1. Comme ci-dessus, la trace de l’action de ˜
M sur ce module de Jacquet
est la somme des traces sur chacune des composantes : ˜
τ ⊗ Hom M (˜ τ , ˜
π M,u ).
On revient à [11] page 88 et 89 pour fixer de façon compatible les extensions
des représentations. On a fixé des opérateurs N (w, σ) pour tout w ∈ ˜
R opérant
dans Ind
G
Q (σ). Si w ∈ ˜
R M , cet opérateur est induit d’un opérateur analogue sur
Ind
M
Q∩M (σ) car ˜
M est un espace de Levi de ˜
G. Pour toute sous-représentation
irréductible de R M , χ τ intervenant pour l’action de R M dans la décomposition de
l’induite Ind
M
Q∩M (σ), stable sous ˜
R M , on fixe une extension χ ˜
τ et on définit ˜
τ la
représentation irréductible de ˜
M par sa trace : pour tout ˜
γ semi-simple régulier
dans ˜
M :
(1)
tr ˜
τ (˜ γ) := |R M |
−1
˜
w∈ ˜
RM
tr χ ˜
τ ( ˜
w) tr (N ( ˜
w, σ)I
M
Q∩M (σ)( ˜
w
−1 ˜
γ)).