XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques
1259
de ˜
G (modulo les représentations de traces nulles) est une combinaison linéaire
d’induites de représentations elliptiques. On veut montrer, en suivant l’article de
R. Herb [43] :
Théorème. La représentation ˜
π est une somme de représentations elliptiques si et
seulement si pour tout espace de Levi propre ˜
L de ˜
G la trace de ˜
L opérant sur ˜
π L,u
est nulle.
XI.2.4 Calcul de modules de Jacquet dans le cas non-archimédien
Ici ˜
π est une représentation tempérée de ˜
G et on suppose que la représentation
sous-jacente π de G est irréductible (on dira plus rapidement que ˜
π est irréductible). On sait que deux induites de séries discrètes ayant un facteur commun sont
isomorphes ; ainsi à π est associée une paire L, σ formé d’un sous-groupe de Levi
et d’une série discrète telles que Q étant un sous-groupe parabolique de G ayant
L comme sous-groupe de Levi, l’induite de σ de Q à G contient π comme sousquotient irréductible et cette paire est unique à conjugaison près sous G. On note
I
G
Q (σ) cette induite dont la classe d’isomorphie est bien déterminée.
On définit de façon usuelle W σ comme le stabilisateur dans G de la paire L, σ
modulo L et on définit ˜
W σ comme l’analogue dans ˜
G. Ainsi ˜
W σ est un W σ torseur.
Soit ˜
∈ ˜
W σ vu comme un élément de ˜
G ; en notant ˜
L la classe à gauche sous L
de l’élément ˜
, on définit un L bitorseur. Et on a ˜
LW σ = L ˜
W σ . On prolonge σ en
une représentation σ, ˜
σ de ce torseur. Ainsi, on munit I
G
Q d’un prolongement à ˜
G
dont la trace tordue ne dépend que du choix de ˜
σ ; ce prolongement est donc bien
défini à un scalaire près en tant que distribution sur les fonctions lisses sur ˜
G.
On reprend les notations de XI.2.2. On a fixé un prolongement ˜
ρ à ˜
R uniquement défini à un scalaire près et cela force une action de ˜
G sur π ρ , notée ˜
π ˜
ρ qui est
uniquement définie de façon à ce que le produit tensoriel ˜
π ˜
ρ ⊗ ˜
ρ soit la restriction
de l’action de ˜
G × ˜
R à cette sous-représentation.
Revenons à ˜
π fixée au départ ; il existe ρ tel que, à un scalaire près π, ˜
π soit
π ρ , ˜
π ρ ; on peut évidemment modifier le choix de ˜
ρ de façon à ce que ce scalaire
soit 1.
Soit M, ˜
M un espace de Levi de G, ˜
G ; alors on définit les modules de Jacquet ordinaires, π M , ˜
π M . Et on note π M,u , ˜
π M,u la sous-représentation qui dans
le groupe de Grothendieck donne la somme des sous-quotients ayant un caractère
central unitaire ; en d’autres termes les sous-quotients irréductibles de π M,u sont
exactement les sous-quotients irréductibles de π M qui sont tempérés.
Lemme. On suppose que W 0,σ = {1} ; alors π M,u est semi-simple et il est nul si
M ne contient pas L.
Ce lemme est en fait dû à R. Herb. En effet en [43] 3.5, elle a calculé le
semi-simplifié de π M,u . En particulier, elle a montré que ce module de Jacquet est
nul si, à conjugaison près, M ne contient pas L. En supposant que M contient
L, on construit l’induite I
M
Q∩M (σ) qui est une représentation tempérée. Alors,
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de ˜
G (modulo les représentations de traces nulles) est une combinaison linéaire
d’induites de représentations elliptiques. On veut montrer, en suivant l’article de
R. Herb [43] :
Théorème. La représentation ˜
π est une somme de représentations elliptiques si et
seulement si pour tout espace de Levi propre ˜
L de ˜
G la trace de ˜
L opérant sur ˜
π L,u
est nulle.
XI.2.4 Calcul de modules de Jacquet dans le cas non-archimédien
Ici ˜
π est une représentation tempérée de ˜
G et on suppose que la représentation
sous-jacente π de G est irréductible (on dira plus rapidement que ˜
π est irréductible). On sait que deux induites de séries discrètes ayant un facteur commun sont
isomorphes ; ainsi à π est associée une paire L, σ formé d’un sous-groupe de Levi
et d’une série discrète telles que Q étant un sous-groupe parabolique de G ayant
L comme sous-groupe de Levi, l’induite de σ de Q à G contient π comme sousquotient irréductible et cette paire est unique à conjugaison près sous G. On note
I
G
Q (σ) cette induite dont la classe d’isomorphie est bien déterminée.
On définit de façon usuelle W σ comme le stabilisateur dans G de la paire L, σ
modulo L et on définit ˜
W σ comme l’analogue dans ˜
G. Ainsi ˜
W σ est un W σ torseur.
Soit ˜
∈ ˜
W σ vu comme un élément de ˜
G ; en notant ˜
L la classe à gauche sous L
de l’élément ˜
, on définit un L bitorseur. Et on a ˜
LW σ = L ˜
W σ . On prolonge σ en
une représentation σ, ˜
σ de ce torseur. Ainsi, on munit I
G
Q d’un prolongement à ˜
G
dont la trace tordue ne dépend que du choix de ˜
σ ; ce prolongement est donc bien
défini à un scalaire près en tant que distribution sur les fonctions lisses sur ˜
G.
On reprend les notations de XI.2.2. On a fixé un prolongement ˜
ρ à ˜
R uniquement défini à un scalaire près et cela force une action de ˜
G sur π ρ , notée ˜
π ˜
ρ qui est
uniquement définie de façon à ce que le produit tensoriel ˜
π ˜
ρ ⊗ ˜
ρ soit la restriction
de l’action de ˜
G × ˜
R à cette sous-représentation.
Revenons à ˜
π fixée au départ ; il existe ρ tel que, à un scalaire près π, ˜
π soit
π ρ , ˜
π ρ ; on peut évidemment modifier le choix de ˜
ρ de façon à ce que ce scalaire
soit 1.
Soit M, ˜
M un espace de Levi de G, ˜
G ; alors on définit les modules de Jacquet ordinaires, π M , ˜
π M . Et on note π M,u , ˜
π M,u la sous-représentation qui dans
le groupe de Grothendieck donne la somme des sous-quotients ayant un caractère
central unitaire ; en d’autres termes les sous-quotients irréductibles de π M,u sont
exactement les sous-quotients irréductibles de π M qui sont tempérés.
Lemme. On suppose que W 0,σ = {1} ; alors π M,u est semi-simple et il est nul si
M ne contient pas L.
Ce lemme est en fait dû à R. Herb. En effet en [43] 3.5, elle a calculé le
semi-simplifié de π M,u . En particulier, elle a montré que ce module de Jacquet est
nul si, à conjugaison près, M ne contient pas L. En supposant que M contient
L, on construit l’induite I
M
Q∩M (σ) qui est une représentation tempérée. Alors,