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Chapitre XI. Appendice
on a la décomposition : Ind
G
P (σ) ρ∈R ˆ π ρ ⊗ ρ. Dans la suite représentation de R
veut précisément dire représentation de cette extension de restriction le caractère
λ au noyau de l’extension.
L’action par adjonction de ˜
r conjugue les représentations de R d’une part
et les composantes isotypiques avec une torsion par ω d’autre part de façon évidemment compatible. On ne considère que le sous-espace de ind
G
P σ isomorphe à
⊕ ρ∈R ˆ ;˜ r.ρρ π ρ ⊗ ρ. L’opérateur M 0 (˜ r) envoie ce sous-espace sur son analogue pour
l’induite de σ ⊗ ω ; en identifiant ces deux espaces, on obtient une ω-représentation
de ˜
G que l’on peut décrire ainsi : pour chaque ρ intervenant, on fixe ˜
ρ(˜ r) un opérateur entrelaçant ρ et ˜
r.ρ. Un tel opérateur est uniquement défini à un scalaire
près et le choix entraîne un unique choix pour un opérateur ˜
π ρ (˜ r) entrelaçant π ρ
et π ρ ⊗ ω de sorte que le produit tensoriel de ces deux opérateurs soit exactement la restriction de M 0 (˜ r) sur la composante π ρ ⊗ ρ. La représentation que nous
définissons est alors pour tout g ∈ G,
˜
π σ,˜ r (˜ rg) := ⊕ ρ;˜ r.ρρ ˜
π ρ (˜ r)π ρ (g) ⊗ ˜
ρ(˜ r).
Définition. On dit que ˜
π σ,˜ r est elliptique si W 0 (σ) = 1, ˜
r n’est inclus dans aucun
espace de Levi propre de ˜
G et ˜
r est essentiel (cf. [81] 2.9, c’est-à-dire non conjugué
dans R à un élément de la forme z˜ r avec z un élément non trivial du noyau de
l’extension).
Grâce à [81] 2.11 on peut récrire de façon moins redondante cette définition ;
on a besoin de la condition que le triplet soit essentiel pour que la trace ne soit
pas nulle mais au lieu des deux premières conditions écrites, on demande qu’il
n’existe pas d’espace de Levi propre de ˜
G, noté ˜
L, contenant un élément ˜
r L tel
qu’en notant W
L
0 (σ) l’analogue de W 0 (σ) pour L, l’intersection W 0 (σ)˜ r ∩W
L
0 (σ)˜ r L
soit non vide.
XI.2.3 Caractérisation des représentations elliptiques
Soit ˜
π une représentation de ˜
G et soit ˜
Q un espace parabolique de ˜
G d’espace
de Levi ˜
L. Ainsi, dans le cas non-archimédien le module de Jacquet (normalisé)
π N défini grâce au radical unipotent du sous-groupe parabolique Q de G associé
à ˜
Q a une action naturelle de ˜
L. On note ˜
π N cette représentation de ˜
L. On la
décompose suivant les caractères généralisés pour l’action du centre de L ; on note
π L,u la somme des espaces propres généralisés pour les caractères unitaires de ce
groupe ; l’espace vectoriel où se réalise naturellement π L,u est un sous-espace de
l’espace de ˜
π N qui est stable sous ˜
L. On note ˜
π L,u cet espace muni des opérateurs
venant de ˜
L. Seule la trace nous intéresse et elle ne dépend que de l’espace de Levi
et non de l’espace parabolique.
Dans le cas archimédien, une construction analogue sera donnée en XI.2.7,
on l’admet ici.
On suppose que ˜
π est une combinaison linéaire de représentations tempérées.
Ainsi l’image de ˜
π dans le groupe de Grothendieck des représentations tempérées
Chapitre XI. Appendice
on a la décomposition : Ind
G
P (σ) ρ∈R ˆ π ρ ⊗ ρ. Dans la suite représentation de R
veut précisément dire représentation de cette extension de restriction le caractère
λ au noyau de l’extension.
L’action par adjonction de ˜
r conjugue les représentations de R d’une part
et les composantes isotypiques avec une torsion par ω d’autre part de façon évidemment compatible. On ne considère que le sous-espace de ind
G
P σ isomorphe à
⊕ ρ∈R ˆ ;˜ r.ρρ π ρ ⊗ ρ. L’opérateur M 0 (˜ r) envoie ce sous-espace sur son analogue pour
l’induite de σ ⊗ ω ; en identifiant ces deux espaces, on obtient une ω-représentation
de ˜
G que l’on peut décrire ainsi : pour chaque ρ intervenant, on fixe ˜
ρ(˜ r) un opérateur entrelaçant ρ et ˜
r.ρ. Un tel opérateur est uniquement défini à un scalaire
près et le choix entraîne un unique choix pour un opérateur ˜
π ρ (˜ r) entrelaçant π ρ
et π ρ ⊗ ω de sorte que le produit tensoriel de ces deux opérateurs soit exactement la restriction de M 0 (˜ r) sur la composante π ρ ⊗ ρ. La représentation que nous
définissons est alors pour tout g ∈ G,
˜
π σ,˜ r (˜ rg) := ⊕ ρ;˜ r.ρρ ˜
π ρ (˜ r)π ρ (g) ⊗ ˜
ρ(˜ r).
Définition. On dit que ˜
π σ,˜ r est elliptique si W 0 (σ) = 1, ˜
r n’est inclus dans aucun
espace de Levi propre de ˜
G et ˜
r est essentiel (cf. [81] 2.9, c’est-à-dire non conjugué
dans R à un élément de la forme z˜ r avec z un élément non trivial du noyau de
l’extension).
Grâce à [81] 2.11 on peut récrire de façon moins redondante cette définition ;
on a besoin de la condition que le triplet soit essentiel pour que la trace ne soit
pas nulle mais au lieu des deux premières conditions écrites, on demande qu’il
n’existe pas d’espace de Levi propre de ˜
G, noté ˜
L, contenant un élément ˜
r L tel
qu’en notant W
L
0 (σ) l’analogue de W 0 (σ) pour L, l’intersection W 0 (σ)˜ r ∩W
L
0 (σ)˜ r L
soit non vide.
XI.2.3 Caractérisation des représentations elliptiques
Soit ˜
π une représentation de ˜
G et soit ˜
Q un espace parabolique de ˜
G d’espace
de Levi ˜
L. Ainsi, dans le cas non-archimédien le module de Jacquet (normalisé)
π N défini grâce au radical unipotent du sous-groupe parabolique Q de G associé
à ˜
Q a une action naturelle de ˜
L. On note ˜
π N cette représentation de ˜
L. On la
décompose suivant les caractères généralisés pour l’action du centre de L ; on note
π L,u la somme des espaces propres généralisés pour les caractères unitaires de ce
groupe ; l’espace vectoriel où se réalise naturellement π L,u est un sous-espace de
l’espace de ˜
π N qui est stable sous ˜
L. On note ˜
π L,u cet espace muni des opérateurs
venant de ˜
L. Seule la trace nous intéresse et elle ne dépend que de l’espace de Levi
et non de l’espace parabolique.
Dans le cas archimédien, une construction analogue sera donnée en XI.2.7,
on l’admet ici.
On suppose que ˜
π est une combinaison linéaire de représentations tempérées.
Ainsi l’image de ˜
π dans le groupe de Grothendieck des représentations tempérées