XI.2. Caractérisation des représentations elliptiques
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de la représentation σ de P à G dans l’induite de σ ⊗ ω de P à G. On note π la représentation induite de σ de P à G et pour tout g ∈ G, on pose ˜
π(˜ rg) := ˜
π(r)π(g)
et c’est une ω représentation.Elle dépend du choix de l’opérateur d’entrelacement,
et n’est donc bien définie qu’à un scalaire près ; on lui demande d’être unitaire ce
qui fait qu’elle est définie à un nombre complexe de module un près.
XI.2.2 La théorie du R-groupe
On dispose de la théorie du R groupe pour l’induite de σ avec les notations du
paragraphe précédent. On note W M,σ := Stab G (M, σ)/M et W 0,σ le sous-groupe
défini par Harish-Chandra : W 0,σ est un sous-groupe distingué de W M,σ et il est
stable sous l’action de ˜
r. Ainsi ˜
r opère par adjonction sur R = W M,σ /W 0,σ . En
fait, il est préférable de rappeler comment on construit l’action du R-groupe : pour
toute paire de sous groupes paraboliques de G de sous-groupe de Levi M , (P, P
)
on fixe une famille d’opérateurs d’entrelacement dépendant méromorphiquement
de λ ∈ A
∗
M,C , de Ind
G
P (σ λ ) dans Ind P (σ λ ), noté N P |P (σ, λ) qui vérifient la formule
d’inversion N P |P (σ, λ)◦N P |P (σ, λ) = 1. Pour P un sous-groupe parabolique de G
de Levi M , on remarque que Ind P (σ − ¯
λ ) est une représentation duale de Ind P (σ λ )
(pour une dualité sesquilinéaire) ; on impose alors aussi aux opérateurs construits
d’être adjoints pour cette dualité. Ainsi ces opérateurs sont holomorphes en λ = 0
et on pose N P |P (σ) la valeur en ce point.
Pour w ∈ W M,σ , on fixe un représentant de w dans G, encore noté w et un
isomorphisme entrelaçant w.σ et σ et en appliquant cet opérateur on obtient un
isomorphisme pour tout sous groupe-parabolique P
de Ind P (w.σ) sur Ind P (σ)
qui commute à l’action induite de G. D’autre part on a une application naturelle
f (g) ∈ Ind P (σ) → f (w
−1 g) ∈ Ind w.P (w.σ) et en composant on obtient un opérateur de Ind P (σ) dans Ind w.P (σ) qui commute aux actions de G. On note N (w, σ)
le composé de l’opérateur que l’on vient de construire avec N P |w.P (σ). Cet opérateur dépend évidemment des choix précédents mais n’en dépend qu’à un scalaire
près.
Alors W 0,σ est précisément l’ensemble des éléments w ∈ W M,σ tel que l’opérateur ci-dessus soit un scalaire.
On remarque aussi que l’action de ˜
r construite dans le paragraphe précédent
est de même nature toutefois N (˜ r, σ) entrelace l’action de G et l’action de G
tordu par un automorphisme ; même si l’automorphisme est intérieur ce n’est pas
la même chose et W 0,σ est relatif à G et non à ˜
G.
Comme il n’est pas clair pour F un corps p-adique que l’on puisse faire des
choix tel que N (w, σ) soit trivial pour w ∈ W 0,σ et donne par passage au quotient
une action du groupe R sur Ind P (σ) (quand on a fixé P ), il faut considérer que
ce n’est pas R qui agit mais une extension de R (cf. [11]). Pour ne pas alourdir,
on garde la notation R mais c’est une extension du R-groupe et, comme montré
en [11], il existe un caractère, λ, du noyau de l’extension, tel qu’en notant R
ˆ les
représentation irréductible de R de restriction au noyau de l’extension ce caractère,
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de la représentation σ de P à G dans l’induite de σ ⊗ ω de P à G. On note π la représentation induite de σ de P à G et pour tout g ∈ G, on pose ˜
π(˜ rg) := ˜
π(r)π(g)
et c’est une ω représentation.Elle dépend du choix de l’opérateur d’entrelacement,
et n’est donc bien définie qu’à un scalaire près ; on lui demande d’être unitaire ce
qui fait qu’elle est définie à un nombre complexe de module un près.
XI.2.2 La théorie du R-groupe
On dispose de la théorie du R groupe pour l’induite de σ avec les notations du
paragraphe précédent. On note W M,σ := Stab G (M, σ)/M et W 0,σ le sous-groupe
défini par Harish-Chandra : W 0,σ est un sous-groupe distingué de W M,σ et il est
stable sous l’action de ˜
r. Ainsi ˜
r opère par adjonction sur R = W M,σ /W 0,σ . En
fait, il est préférable de rappeler comment on construit l’action du R-groupe : pour
toute paire de sous groupes paraboliques de G de sous-groupe de Levi M , (P, P
)
on fixe une famille d’opérateurs d’entrelacement dépendant méromorphiquement
de λ ∈ A
∗
M,C , de Ind
G
P (σ λ ) dans Ind P (σ λ ), noté N P |P (σ, λ) qui vérifient la formule
d’inversion N P |P (σ, λ)◦N P |P (σ, λ) = 1. Pour P un sous-groupe parabolique de G
de Levi M , on remarque que Ind P (σ − ¯
λ ) est une représentation duale de Ind P (σ λ )
(pour une dualité sesquilinéaire) ; on impose alors aussi aux opérateurs construits
d’être adjoints pour cette dualité. Ainsi ces opérateurs sont holomorphes en λ = 0
et on pose N P |P (σ) la valeur en ce point.
Pour w ∈ W M,σ , on fixe un représentant de w dans G, encore noté w et un
isomorphisme entrelaçant w.σ et σ et en appliquant cet opérateur on obtient un
isomorphisme pour tout sous groupe-parabolique P
de Ind P (w.σ) sur Ind P (σ)
qui commute à l’action induite de G. D’autre part on a une application naturelle
f (g) ∈ Ind P (σ) → f (w
−1 g) ∈ Ind w.P (w.σ) et en composant on obtient un opérateur de Ind P (σ) dans Ind w.P (σ) qui commute aux actions de G. On note N (w, σ)
le composé de l’opérateur que l’on vient de construire avec N P |w.P (σ). Cet opérateur dépend évidemment des choix précédents mais n’en dépend qu’à un scalaire
près.
Alors W 0,σ est précisément l’ensemble des éléments w ∈ W M,σ tel que l’opérateur ci-dessus soit un scalaire.
On remarque aussi que l’action de ˜
r construite dans le paragraphe précédent
est de même nature toutefois N (˜ r, σ) entrelace l’action de G et l’action de G
tordu par un automorphisme ; même si l’automorphisme est intérieur ce n’est pas
la même chose et W 0,σ est relatif à G et non à ˜
G.
Comme il n’est pas clair pour F un corps p-adique que l’on puisse faire des
choix tel que N (w, σ) soit trivial pour w ∈ W 0,σ et donne par passage au quotient
une action du groupe R sur Ind P (σ) (quand on a fixé P ), il faut considérer que
ce n’est pas R qui agit mais une extension de R (cf. [11]). Pour ne pas alourdir,
on garde la notation R mais c’est une extension du R-groupe et, comme montré
en [11], il existe un caractère, λ, du noyau de l’extension, tel qu’en notant R
ˆ les
représentation irréductible de R de restriction au noyau de l’extension ce caractère,