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Chapitre XI. Appendice
XI.1 Quelques définitions de base
On fixe un groupe réductif connexe sur un corps local, F , de caractéristique 0 ;
on fixe aussi un G-bitorseur ˜
G et un caractère ω de G, provenant d’une classe de
cocycle a comme dans les paragraphes précédents.
On appelle ω-représentation de ˜
G, un espace vectoriel complexe V et des
morphismes, l’un noté π
˜
G de ˜
G dans Aut(V ) et l’autre un morphisme de groupes,
noté π de G dans le même espace reliés par la propriété :
∀γ ∈ ˜
G, ∀g, g
∈ G, π
˜
G (gγg
) = π(g)π
˜
G (γ)π(g
)ω(g
).
La notion d’isomorphisme est la notion évidente et il est facile de voir que les
classes d’isomorphismes de ω-représentations de ˜
G sont en bijection avec les classes
d’isomorphismes des couples π, A où π est une représentation de G et où A est un
isomorphisme de π ◦ ad(γ 0 ) π ⊗ ω, où γ 0 est un élément fixé de ˜
G.
Pour alléger la rédaction, on parlera plutôt de représentations de ˜
G que de
ω-représentations.
XI.2 Caractérisation des représentations elliptiques
La caractérisation des représentations elliptiques est foncièrement la même dans
le cas archimédien et dans le cas non-archimédien : ce sont les représentations
super-tempérées mais pour clarifier la situation on préfère séparer ces deux cas.
XI.2.1 Rappel des définitions de [81]
On fixe un sous-groupe de Levi M de G et une série discrète σ de M . On note
Stab ˜
G (M, σ, ω) l’ensemble des éléments de ˜
G de la forme ˜
γ qui stabilisent M et
vérifient ˜
γ.σ ω ⊗ σ ; un tel ensemble est un espace homogène sous Stab G (M, σ).
On suppose que Stab ˜
G (M, σ, ω) = ∅ et soit ˜
r dans cet ensemble, on définit ˜
π σ,˜ r une
ω représentation de ˜
G de la façon suivante : on fixe P un sous-groupe parabolique
de G de sous-groupe de Levi M et on note ˜
r.P le sous-groupe de Levi formé des
éléments p
∈ G tel que p
˜
r ∈ ˜
rP . C’est un sous-groupe de Levi de G de groupe de
Levi M . Pour λ un caractère de M , on note M ˜
r.P |P (λ, σ, ω) l’opérateur d’entrelacement standard de l’induite pour le parabolique P de la représentation λ ⊗ σ de
M vers l’induite de cette même représentation pour le parabolique ˜
r.P . L’action
naturelle de ˜
r envoie cette dernière induite vers l’induite pour P de la représentation λ
σ ⊗ ω (on peut sortir le caractère ω) où λ
est le composé de λ avec l’action
de ˜
r. On obtient ainsi un opérateur de l’induite pour P de σ ⊗ λ vers l’induite
de σ ⊗ ω ⊗ λ
qui dépend méromorphiquement de λ. On fixe une fonction méromorphe de λ de sorte qu’après multiplication par cette fonction l’opérateur soit
holomorphe et non nul en λ = 0 et on note M 0 (˜ r) l’opérateur ainsi obtenu ; il n’est
défini qu’à un scalaire près et est un homomorphisme de la représentation induite
Chapitre XI. Appendice
XI.1 Quelques définitions de base
On fixe un groupe réductif connexe sur un corps local, F , de caractéristique 0 ;
on fixe aussi un G-bitorseur ˜
G et un caractère ω de G, provenant d’une classe de
cocycle a comme dans les paragraphes précédents.
On appelle ω-représentation de ˜
G, un espace vectoriel complexe V et des
morphismes, l’un noté π
˜
G de ˜
G dans Aut(V ) et l’autre un morphisme de groupes,
noté π de G dans le même espace reliés par la propriété :
∀γ ∈ ˜
G, ∀g, g
∈ G, π
˜
G (gγg
) = π(g)π
˜
G (γ)π(g
)ω(g
).
La notion d’isomorphisme est la notion évidente et il est facile de voir que les
classes d’isomorphismes de ω-représentations de ˜
G sont en bijection avec les classes
d’isomorphismes des couples π, A où π est une représentation de G et où A est un
isomorphisme de π ◦ ad(γ 0 ) π ⊗ ω, où γ 0 est un élément fixé de ˜
G.
Pour alléger la rédaction, on parlera plutôt de représentations de ˜
G que de
ω-représentations.
XI.2 Caractérisation des représentations elliptiques
La caractérisation des représentations elliptiques est foncièrement la même dans
le cas archimédien et dans le cas non-archimédien : ce sont les représentations
super-tempérées mais pour clarifier la situation on préfère séparer ces deux cas.
XI.2.1 Rappel des définitions de [81]
On fixe un sous-groupe de Levi M de G et une série discrète σ de M . On note
Stab ˜
G (M, σ, ω) l’ensemble des éléments de ˜
G de la forme ˜
γ qui stabilisent M et
vérifient ˜
γ.σ ω ⊗ σ ; un tel ensemble est un espace homogène sous Stab G (M, σ).
On suppose que Stab ˜
G (M, σ, ω) = ∅ et soit ˜
r dans cet ensemble, on définit ˜
π σ,˜ r une
ω représentation de ˜
G de la façon suivante : on fixe P un sous-groupe parabolique
de G de sous-groupe de Levi M et on note ˜
r.P le sous-groupe de Levi formé des
éléments p
∈ G tel que p
˜
r ∈ ˜
rP . C’est un sous-groupe de Levi de G de groupe de
Levi M . Pour λ un caractère de M , on note M ˜
r.P |P (λ, σ, ω) l’opérateur d’entrelacement standard de l’induite pour le parabolique P de la représentation λ ⊗ σ de
M vers l’induite de cette même représentation pour le parabolique ˜
r.P . L’action
naturelle de ˜
r envoie cette dernière induite vers l’induite pour P de la représentation λ
σ ⊗ ω (on peut sortir le caractère ω) où λ
est le composé de λ avec l’action
de ˜
r. On obtient ainsi un opérateur de l’induite pour P de σ ⊗ λ vers l’induite
de σ ⊗ ω ⊗ λ
qui dépend méromorphiquement de λ. On fixe une fonction méromorphe de λ de sorte qu’après multiplication par cette fonction l’opérateur soit
holomorphe et non nul en λ = 0 et on note M 0 (˜ r) l’opérateur ainsi obtenu ; il n’est
défini qu’à un scalaire près et est un homomorphisme de la représentation induite