X.9. Preuve de 7.4
1253
particulier χ K0 envoie F
∗
0 dans ˆ
U
ΓF 0 . En notant n := [ ˆ
U
ΓF 0 : ˆ
U
ΓF 0 ,0 ], χ K0 envoie
F
∗,n
0
:= {x
n ; x ∈ F
∗
0 } dans ˆ
U
ΓF 0 ,0 . Le groupe CF
∗,n
0
est ouvert d’indice fini dans
K
∗
0 . Par le corps de classes, c’est le groupe des normes d’une extension abélienne
finie E 0 et parce que u 0 est un cocycle, on vérifie que l’extension E 0 de F 0 est
elle aussi galoisienne. On a maintenant défini le corps E 0 que l’on utilise dans la
construction précédente de globalisation.
On va construire l’élément δ ∈ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G)) qui par localisation s’envoie sur δ 0 . On dispose des quotients W E/F et W E0/F0 . On a fait
ce qu’il fallait pour que u 0 se quotiente par W E0/F0 . Et parce que Gal(E/F ) =
Gal(E 0 /F 0 ), on voit que W E/F s’identifie au produit semi-direct de A
∗
E /E
∗
W E0/F0 quotienté par E
∗
0 plongé antidiagonalement. Pour prolonger u 0 en un cocycle u : W E/F → ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 , il suffit de prolonger le caractère χ 0 := u 0|E ∗
0
: E
∗
0 → ˆ
U
en un caractère χ : A
∗
E /E
∗
→ ˆ
U qui soit équivariant pour Gal(E/F ). Si F 0 = C,
on a aussi E 0 = F 0 donc E = F . La condition d’équivariance est triviale. D’autre
part, on a vu que χ 0 prend ses valeurs dans ˆ
U
0 . Il est trivial que l’on peut prolonger χ 0 en χ. Si F 0 est p-adique, on s’est arrangé pour que χ 0 soit non ramifié
et prenne ses valeurs dans ˆ
U
ΓF 0 ,0 . Ecrivons ˆ
U
ΓF 0 ,0 = (C
∗ )
N . Alors χ 0 est de la
forme (| |
s1
E0 , . . . , | |
sN
E0 ) que l’on prolonge par (| |
s1
AE , . . . , | |
sN
AE ).
Reste le cas, F 0 = R, E 0 = C, E/F quadratique. Le caractère χ 0 prend
ses valeurs dans ˆ
U
0 . On sait que l’on peut décomposer ˆ
U
0 muni de l’action de
Gal(E/F ) = {1, σ} en produits de trois types de tores : C
∗ avec σ(x) = x, C
∗
× C
∗
l’action du groupe de Galois échangeant les deux copies et C
∗ avec σ(x) = x
−1 . Il
suffit de traiter chaque cas. On traite le dernier qui est le plus difficile.
La condition d’équivariance est que χ doit être trivial sur les normes
N E/F (E
∗ ). On vérifie que E
∗ N E/F (A
∗
E ) est un sous-groupe fermé de A
∗
E , on munit
A
∗
E /E
∗ N E/F (A
∗
E ) de la topologie quotient. C’est un groupe compact. L’homomorphisme E
∗
0 /N E0/F0 (E
∗
0 ) → A
∗
E /E
∗ N E/F (A
∗
E ) est continu. On va voir qu’il est injectif. Alors son image est un sous-groupe compact de A
∗
E /E
∗ N E/F (A
∗
E ) et on peut
considérer que χ 0 est défini sur ce sous-groupe. Il est connu qu’un caractère continu
d’un sous-groupe compact d’un groupe compact à valeurs dans C
∗ se prolonge au
groupe tout entier en un caractère continu. Cela conclut modulo l’assertion d’injectivité admise. Montrons-la : soit e 0 ∈ E
∗
0 et supposons que e 0 ∈ E
∗ N E/F (A
∗
E ).
Ainsi il existe e ∈ E
∗ tel que e ∈ e 0 N E0/F0 (E
∗
0 ) et e ∈ N Ev/Fv (E
∗
v ) pour toute
place v = v 0 . Cela entraîne que e ∈ F
∗ et, en notant κ le caractère quadratique
associé à E/F , on a κ v (e) = 1 pour tout v = v 0 . La formule de produit entraîne
que κ v0 (e) = 1 donc e 0 ∈ N E0/F0 (E
∗
0 ) ce qu’il fallait démontrer.
On a maintenant défini δ ∈ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 (1− ˆ
θ)
→ ˆ
T /Z( ˆ
G)) qui par localisation s’envoie sur δ 0 . On note a l’image de δ dans H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T /Z( ˆ
G)) =
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)), ou plutôt son image modulo ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)). Il est clair que a
s’envoie sur a 0 par localisation. Il définit un caractère ω de G(A F ), automorphe,
qui se restreint en ω 0 en la place v 0 .
1253
particulier χ K0 envoie F
∗
0 dans ˆ
U
ΓF 0 . En notant n := [ ˆ
U
ΓF 0 : ˆ
U
ΓF 0 ,0 ], χ K0 envoie
F
∗,n
0
:= {x
n ; x ∈ F
∗
0 } dans ˆ
U
ΓF 0 ,0 . Le groupe CF
∗,n
0
est ouvert d’indice fini dans
K
∗
0 . Par le corps de classes, c’est le groupe des normes d’une extension abélienne
finie E 0 et parce que u 0 est un cocycle, on vérifie que l’extension E 0 de F 0 est
elle aussi galoisienne. On a maintenant défini le corps E 0 que l’on utilise dans la
construction précédente de globalisation.
On va construire l’élément δ ∈ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G)) qui par localisation s’envoie sur δ 0 . On dispose des quotients W E/F et W E0/F0 . On a fait
ce qu’il fallait pour que u 0 se quotiente par W E0/F0 . Et parce que Gal(E/F ) =
Gal(E 0 /F 0 ), on voit que W E/F s’identifie au produit semi-direct de A
∗
E /E
∗
W E0/F0 quotienté par E
∗
0 plongé antidiagonalement. Pour prolonger u 0 en un cocycle u : W E/F → ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 , il suffit de prolonger le caractère χ 0 := u 0|E ∗
0
: E
∗
0 → ˆ
U
en un caractère χ : A
∗
E /E
∗
→ ˆ
U qui soit équivariant pour Gal(E/F ). Si F 0 = C,
on a aussi E 0 = F 0 donc E = F . La condition d’équivariance est triviale. D’autre
part, on a vu que χ 0 prend ses valeurs dans ˆ
U
0 . Il est trivial que l’on peut prolonger χ 0 en χ. Si F 0 est p-adique, on s’est arrangé pour que χ 0 soit non ramifié
et prenne ses valeurs dans ˆ
U
ΓF 0 ,0 . Ecrivons ˆ
U
ΓF 0 ,0 = (C
∗ )
N . Alors χ 0 est de la
forme (| |
s1
E0 , . . . , | |
sN
E0 ) que l’on prolonge par (| |
s1
AE , . . . , | |
sN
AE ).
Reste le cas, F 0 = R, E 0 = C, E/F quadratique. Le caractère χ 0 prend
ses valeurs dans ˆ
U
0 . On sait que l’on peut décomposer ˆ
U
0 muni de l’action de
Gal(E/F ) = {1, σ} en produits de trois types de tores : C
∗ avec σ(x) = x, C
∗
× C
∗
l’action du groupe de Galois échangeant les deux copies et C
∗ avec σ(x) = x
−1 . Il
suffit de traiter chaque cas. On traite le dernier qui est le plus difficile.
La condition d’équivariance est que χ doit être trivial sur les normes
N E/F (E
∗ ). On vérifie que E
∗ N E/F (A
∗
E ) est un sous-groupe fermé de A
∗
E , on munit
A
∗
E /E
∗ N E/F (A
∗
E ) de la topologie quotient. C’est un groupe compact. L’homomorphisme E
∗
0 /N E0/F0 (E
∗
0 ) → A
∗
E /E
∗ N E/F (A
∗
E ) est continu. On va voir qu’il est injectif. Alors son image est un sous-groupe compact de A
∗
E /E
∗ N E/F (A
∗
E ) et on peut
considérer que χ 0 est défini sur ce sous-groupe. Il est connu qu’un caractère continu
d’un sous-groupe compact d’un groupe compact à valeurs dans C
∗ se prolonge au
groupe tout entier en un caractère continu. Cela conclut modulo l’assertion d’injectivité admise. Montrons-la : soit e 0 ∈ E
∗
0 et supposons que e 0 ∈ E
∗ N E/F (A
∗
E ).
Ainsi il existe e ∈ E
∗ tel que e ∈ e 0 N E0/F0 (E
∗
0 ) et e ∈ N Ev/Fv (E
∗
v ) pour toute
place v = v 0 . Cela entraîne que e ∈ F
∗ et, en notant κ le caractère quadratique
associé à E/F , on a κ v (e) = 1 pour tout v = v 0 . La formule de produit entraîne
que κ v0 (e) = 1 donc e 0 ∈ N E0/F0 (E
∗
0 ) ce qu’il fallait démontrer.
On a maintenant défini δ ∈ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 (1− ˆ
θ)
→ ˆ
T /Z( ˆ
G)) qui par localisation s’envoie sur δ 0 . On note a l’image de δ dans H
1,0 (W F ; ˆ
T → ˆ
T /Z( ˆ
G)) =
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)), ou plutôt son image modulo ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)). Il est clair que a
s’envoie sur a 0 par localisation. Il définit un caractère ω de G(A F ), automorphe,
qui se restreint en ω 0 en la place v 0 .