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Chapitre X. Stabilisation spectrale
Remarquons que ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF 0 ,0 et ( ˆ
T /Z( ˆ
M ))
ΓF 0 ,0 sont les images naturelles
du même groupe ˆ
T
ΓF 0 ,0 . Donc le noyau de l’homomorphisme écrit dans l’énoncé
de (i) est la projection du noyau de l’homomorphisme
(1)
H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G)) → H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
M )).
On a la suite exacte de tores complexes :
1
/ / Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G)
/ / ˆ
T /Z( ˆ
G)
/ / ˆ
T /Z( ˆ
M )
/ / 1
1
/ /
O O
ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0
=
/ /
O O
ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0
/ /
O O
1 .
Le noyau de (1) est donc l’image de
(Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G))
ΓF 0 = H
0 (W F0 ; Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G)) → H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G)).
Or Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G) est un tore induit ce qui entraîne que (Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G))
ΓF 0 est connexe
et son image tombe dans l’image de ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF 0 ,0 . Cela prouve (i).
Considérons un cocycle (u, t) ∈ Z
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
M )) qui s’envoie
sur a 0 dans H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
M )).
Cette image est ((1 − ˆ
θ)u, t). Représentons a 0 par un cocycle à valeurs dans
Z( ˆ
G) en revenant à a 0 ∈ H
1 (W F0 , Z( ˆ
G)). Alors ((1 − ˆ
θ)u, t) est cohomologue à
(a 0 , 1). Il existe donc x ∈ ˆ
T tel que (1− ˆ
θ)u(σ) = a 0 (σ)x
−1 σ(x) pour tout σ ∈ W F0
et t = x modulo Z( ˆ
M ). Le couple (u, x ad ), où x ad est l’image de x dans ˆ
T /Z( ˆ
G)
est un cocycle dans Z
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G)). On voit que son image par
l’homomorphisme du (i) est le cocycle de départ (u, t). Cela prouve (ii).
On peut donc identifier δ 0 à un élément de
H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G))/ Im ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF 0 ,0
qui s’envoie sur a 0 dans H
1,0 (W F0 , ˆ
T → ˆ
T /Z( ˆ
G)). On le représente par un cocycle
(u 0 , t). Soit K 0 /F 0 l’extension galoisienne qui déploie T . La restriction de u 0 à W K0
est un homomorphisme W K0 → ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 qui vérifie (1 − ˆ
θ)u 0 (σ) ad = σ(t)t
−1 = 1
pour tout σ ∈ W K0 (l’indice ad désigne la projection dans ˆ
T ad = ˆ
T /Z( ˆ
G)). Or l’ensemble des éléments x ∈ ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 tels que (1 − ˆ
θ)(x) ad = 1 est ˆ
U := Z( ˆ
G) ˆ
T
ˆ
θ,0 / ˆ
T
ˆ
θ,0
qui n’est pas connexe en général. Si F 0 = R, on pose E 0 = C et comme W E0 = C
∗ ,
la restriction de u 0 à W E0 est à valeurs dans ˆ
U
0 . Si F 0 est p-adique, on interprète
la restriction de u 0 à W K0 comme un caractère χ K0 de K
∗
0 dans ˆ
U . Soit C le noyau
de la restriction de ce caractère au groupe des unités O
∗
K0 . Parce que u 0 est un
cocycle, χ K0 (σ(x)) = σχ K0 (x) pour tout σ ∈ Gal(K 0 /F 0 ) et tout x ∈ K
∗
0 . En