X.9. Preuve de 7.4
1251
On a défini le groupe M 0,ab (F 0 ) := π(M 0,SC (F 0 ))\M 0 (F 0 ) H
1,0 (Γ F0 ; T sc →
T ). On a le diagramme commutatif (cf [I], 1.12) :
T sc
=
/ / T
(1−θ)
T sc
(1−θ)
/ / (1 − θ)T.
D’où un homomorphisme
(∗)
H
1,0 (Γ F0 ; T sc → T ) → H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T ).
On voit que l’action par multiplication à droite de
M 0,ab (F 0 ) sur T
θ
\Y/π(M 0,SC (F 0 ))
correspond à la multiplication par H
1,0 (Γ F0 ; T sc → T ) via l’homomorphisme cidessus. Donc K F0 (T, ω 0 ) est l’ensemble des caractères de H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 −
θ)T ) qui poussés par l’homomorphisme ci-dessus deviennent le caractère ω 0 de
H
1,0 (Γ F0 ; T sc → T ). Les groupes de caractères des deux groupes de (∗) sont les
deux derniers groupes de la suite exacte :
H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T )/ Im ˆ
T
ΓF 0 ,0
→ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad )/ Im ˆ
T
ΓF 0 ,0
ad
→ H
1,0 (W F0 , ˆ
T → ˆ
T ad ) H
1 (W F0 ; Z( ˆ
M )),
où ici ˆ
T ad = ˆ
T /Z( ˆ
M ). Donc δ 0 s’interprète comme un élément du groupe central
qui s’envoie sur l’élément a 0 du dernier groupe.
On s’est placé dans l’espace ambiant ˜
M 0 . On peut faire la même construction
en remplaçant ˜
M 0 par ˜
G 0 . Pour préciser les notations avec ˜
M 0 , on a l’ensemble
K
˜
M0
F0 (T, ω 0 ) et avec ˜
G 0 , l’ensemble K
˜
G0
F0 (T, ω 0 ). En fait ces ensembles sont identiques : ceci est bien connu mais nous allons le revérifier. Du côté dual, ce qui
change est le tore ˆ
T ad qui dans un cas est ˆ
T /Z( ˆ
M ) et dans l’autre est ˆ
T /Z( ˆ
G).
Pour vérifier l’égalité annoncée, on montre :
Lemme.
(i) L’homorphisme
H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G))/ Im ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF 0 ,0
→ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
M ))/ Im ( ˆ
T /Z( ˆ
M ))
ΓF 0 ,0
est injectif.
(ii) Un élément de H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
M ))/ Im ( ˆ
T /Z( ˆ
M ))
ΓF 0 ,0 qui s’envoie sur a 0 est dans l’image de l’homorphisme de (i).
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On a défini le groupe M 0,ab (F 0 ) := π(M 0,SC (F 0 ))\M 0 (F 0 ) H
1,0 (Γ F0 ; T sc →
T ). On a le diagramme commutatif (cf [I], 1.12) :
T sc
=
/ / T
(1−θ)
T sc
(1−θ)
/ / (1 − θ)T.
D’où un homomorphisme
(∗)
H
1,0 (Γ F0 ; T sc → T ) → H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T ).
On voit que l’action par multiplication à droite de
M 0,ab (F 0 ) sur T
θ
\Y/π(M 0,SC (F 0 ))
correspond à la multiplication par H
1,0 (Γ F0 ; T sc → T ) via l’homomorphisme cidessus. Donc K F0 (T, ω 0 ) est l’ensemble des caractères de H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 −
θ)T ) qui poussés par l’homomorphisme ci-dessus deviennent le caractère ω 0 de
H
1,0 (Γ F0 ; T sc → T ). Les groupes de caractères des deux groupes de (∗) sont les
deux derniers groupes de la suite exacte :
H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T )/ Im ˆ
T
ΓF 0 ,0
→ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T ad )/ Im ˆ
T
ΓF 0 ,0
ad
→ H
1,0 (W F0 , ˆ
T → ˆ
T ad ) H
1 (W F0 ; Z( ˆ
M )),
où ici ˆ
T ad = ˆ
T /Z( ˆ
M ). Donc δ 0 s’interprète comme un élément du groupe central
qui s’envoie sur l’élément a 0 du dernier groupe.
On s’est placé dans l’espace ambiant ˜
M 0 . On peut faire la même construction
en remplaçant ˜
M 0 par ˜
G 0 . Pour préciser les notations avec ˜
M 0 , on a l’ensemble
K
˜
M0
F0 (T, ω 0 ) et avec ˜
G 0 , l’ensemble K
˜
G0
F0 (T, ω 0 ). En fait ces ensembles sont identiques : ceci est bien connu mais nous allons le revérifier. Du côté dual, ce qui
change est le tore ˆ
T ad qui dans un cas est ˆ
T /Z( ˆ
M ) et dans l’autre est ˆ
T /Z( ˆ
G).
Pour vérifier l’égalité annoncée, on montre :
Lemme.
(i) L’homorphisme
H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
G))/ Im ( ˆ
T /Z( ˆ
G))
ΓF 0 ,0
→ H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
M ))/ Im ( ˆ
T /Z( ˆ
M ))
ΓF 0 ,0
est injectif.
(ii) Un élément de H
1,0 (W F0 ; ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
T /Z( ˆ
M ))/ Im ( ˆ
T /Z( ˆ
M ))
ΓF 0 ,0 qui s’envoie sur a 0 est dans l’image de l’homorphisme de (i).