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Chapitre X. Stabilisation spectrale
s’identifie au fixateur de v
0 dans Gal(E
/F ). On remplace F par le corps des
points fixes de ce fixateur et v 0 par la place v
0 restreinte à ce sous-corps. Alors
Gal(E
v
0
/F 0 ) = Gal(E
/F ). On note E l’extension intermédiaire F ⊂ E ⊂ E
telle que Gal(E
/E) = Gal(E
v
0
/E 0 ). Alors E/F est galoisienne, Gal(E/F ) =
Gal(E 0 /F 0 ) et les actions galoisiennes globale et locale en v 0 coïncident sur X ∗ (T ).
Donc T est déployé sur E ce qui entraîne que G et M le sont aussi. Puisque ˜
T v0 est
elliptique dans ˜
M v0 et que le plus grand tore déployé A ˜
M central dans ˜
M a pour
localisé en v 0 le plus grand tore déployé A ˜
Mv 0
dans ˜
M v0 , ˜
T est elliptique dans ˜
M .
Remarque. On peut supposer que ces dernières propriétés sont aussi vérifiées pour
deux autres places u 1 , u 2 de F .
Il suffit pour cela de fixer une extension galoisienne finie K/F telle que v 0
soit totalement décomposée dans K avec [K : F ] ≥ 3. On remplace F par K et E
par EK qui est nécessairement un corps. On remplace v 0 par une place au-dessus
du v 0 initial et on choisit pour u 1 , u 2 deux autres places au-dessus du v 0 initial.
Globalisation du caractère ω 0 et de l’élément δ 0 .
On commence par quelques rappels sur la classe de conjugaison stable de γ dans
˜
M 0 (F 0 ). Pour ces rappels on suppose que F 0 = R, le cas F 0 = R se traite de la
même façon mais avec des K-espaces.
La classe de conjugaison stable de γ est C
st (γ) := {γ
∈ ˜
M 0 (F 0 ); ∃m ∈
M 0 (F 0 ); γ
= m
−1 γm}. Si γ
= m
−1 γm la condition d’être dans ˜
M 0 (F 0 ) se traduit
exactement par le fait que pour tout σ ∈ Gal(F 0 /F 0 ), mσ(m)
−1
∈ T
θ . On pose :
Y := {m ∈ M 0 (F 0 ); ∀σ ∈ Gal(F 0 /F 0 ), mσ(m)
−1
∈ T
θ
}.
On note π la projection naturelle de M 0,SC dans M 0 . On a une bijection :
T
θ
\Y/π(M 0,SC (F 0 )) H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T ),
où T sc est l’image réciproque de T dans M 0,SC .
Rappel de la construction : pour m ∈ Y, on écrit m = zπ(m sc ) avec z ∈
Z(M 0 )(F 0 ), m sc ∈ M 0,SC (F 0 ). Pour σ ∈ Γ F0 , on pose u(σ) = m sc σ(m sc )
−1 .
On voit que u(σ) ∈ T sc et que le couple (u, (1 − θ)z) définit un élément de
H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T ).
Notons K F0 (T, ω 0 ) l’ensemble des caractères de H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T )
qui via la bijection ci-dessus, deviennent des fonctions sur T
θ
\Y qui se transforment selon le caractère ω 0 par multiplication à droite par M 0 (F 0 ).
D’après la théorie générale, l’ensemble des couples (M
1 , δ 1 ) où M
1 est une
donnée endoscopique elliptique de (M 0 , ˜
M 0 , a 0 ) et δ 1 est un élément de M
1 (F 0 )
correspondant à γ, couples pris à équivalence près, est naturellement en bijection
avec K F0 (T, ω 0 ). En particulier, le couple fixé (M
0 , δ 0 ) correspond à un élément
de K F0 (T, ω 0 ), que l’on note simplement δ 0 .
Chapitre X. Stabilisation spectrale
s’identifie au fixateur de v
0 dans Gal(E
/F ). On remplace F par le corps des
points fixes de ce fixateur et v 0 par la place v
0 restreinte à ce sous-corps. Alors
Gal(E
v
0
/F 0 ) = Gal(E
/F ). On note E l’extension intermédiaire F ⊂ E ⊂ E
telle que Gal(E
/E) = Gal(E
v
0
/E 0 ). Alors E/F est galoisienne, Gal(E/F ) =
Gal(E 0 /F 0 ) et les actions galoisiennes globale et locale en v 0 coïncident sur X ∗ (T ).
Donc T est déployé sur E ce qui entraîne que G et M le sont aussi. Puisque ˜
T v0 est
elliptique dans ˜
M v0 et que le plus grand tore déployé A ˜
M central dans ˜
M a pour
localisé en v 0 le plus grand tore déployé A ˜
Mv 0
dans ˜
M v0 , ˜
T est elliptique dans ˜
M .
Remarque. On peut supposer que ces dernières propriétés sont aussi vérifiées pour
deux autres places u 1 , u 2 de F .
Il suffit pour cela de fixer une extension galoisienne finie K/F telle que v 0
soit totalement décomposée dans K avec [K : F ] ≥ 3. On remplace F par K et E
par EK qui est nécessairement un corps. On remplace v 0 par une place au-dessus
du v 0 initial et on choisit pour u 1 , u 2 deux autres places au-dessus du v 0 initial.
Globalisation du caractère ω 0 et de l’élément δ 0 .
On commence par quelques rappels sur la classe de conjugaison stable de γ dans
˜
M 0 (F 0 ). Pour ces rappels on suppose que F 0 = R, le cas F 0 = R se traite de la
même façon mais avec des K-espaces.
La classe de conjugaison stable de γ est C
st (γ) := {γ
∈ ˜
M 0 (F 0 ); ∃m ∈
M 0 (F 0 ); γ
= m
−1 γm}. Si γ
= m
−1 γm la condition d’être dans ˜
M 0 (F 0 ) se traduit
exactement par le fait que pour tout σ ∈ Gal(F 0 /F 0 ), mσ(m)
−1
∈ T
θ . On pose :
Y := {m ∈ M 0 (F 0 ); ∀σ ∈ Gal(F 0 /F 0 ), mσ(m)
−1
∈ T
θ
}.
On note π la projection naturelle de M 0,SC dans M 0 . On a une bijection :
T
θ
\Y/π(M 0,SC (F 0 )) H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T ),
où T sc est l’image réciproque de T dans M 0,SC .
Rappel de la construction : pour m ∈ Y, on écrit m = zπ(m sc ) avec z ∈
Z(M 0 )(F 0 ), m sc ∈ M 0,SC (F 0 ). Pour σ ∈ Γ F0 , on pose u(σ) = m sc σ(m sc )
−1 .
On voit que u(σ) ∈ T sc et que le couple (u, (1 − θ)z) définit un élément de
H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T ).
Notons K F0 (T, ω 0 ) l’ensemble des caractères de H
1,0 (Γ F0 ; T sc
1−θ
→ (1 − θ)T )
qui via la bijection ci-dessus, deviennent des fonctions sur T
θ
\Y qui se transforment selon le caractère ω 0 par multiplication à droite par M 0 (F 0 ).
D’après la théorie générale, l’ensemble des couples (M
1 , δ 1 ) où M
1 est une
donnée endoscopique elliptique de (M 0 , ˜
M 0 , a 0 ) et δ 1 est un élément de M
1 (F 0 )
correspondant à γ, couples pris à équivalence près, est naturellement en bijection
avec K F0 (T, ω 0 ). En particulier, le couple fixé (M
0 , δ 0 ) correspond à un élément
de K F0 (T, ω 0 ), que l’on note simplement δ 0 .