X.9. Preuve de 7.4
1249
où la somme porte sur les représentations elliptiques τ de ˜
M dont l’induite est
une représentation discrète de ˜
G modulo conjugaison sous le normalisateur de ˜
M
dans G et où ι
(τ ) est le coefficient intervenant dans X.3.3.
On a aussi montré en X.3.3 que l’on avait aussi une décomposition pour la
variante stable de cette distribution bien que l’écriture soit moins jolie et surtout
moins explicite. Notons SI
G
(M
, f
1 , f
2 ) la distribution correspondant.
Proposition. Pour tout ˜
M espace de Levi de ˜
G et pour tout couple de fonctions
f 1 , f 2 ∈ I( ˜
G, ω), on a l’égalité :
I
˜
G ( ˜
M , ω, f 1 , f 2 ) =
M
i( ˜
M, M
)
G
i ˜
M ( ˜
G, G
)SI
G
(M
, f
G
1 , f
G
2 ),
où la somme sur M
est la somme sur les données endoscopiques elliptiques relevantes de ˜
M et où la somme sur G
, quand M
est fixé est la somme sur les
groupes endoscopiques elliptiques de ˜
G contenant M
comme sous groupe de Levi.
Les distributions sont des combinaisons linéaires de traces de représentations
induites à partir de représentations elliptiques de ˜
M pour le côté gauche et M
pour
le côté droit. Elles s’expriment donc en fonction des termes constants f 1, ˜
M , f 2, ˜
M
et de leurs transferts à M
. Il suffit donc de montrer cette égalité pour f 1 et f 2 des
fonctions ˜
M -cuspidales. Puisqu’on a démontré la stabilisation des intégrales orbitales pondérées, on sait stabiliser la formule des traces locale ; on a donc l’égalité
cherchée en sommant sur les espaces de Levi mais avec l’hypothèse sur f 1 et f 2 il
suffit de sommer sur les espaces de Levi contenant ˜
M et on obtient la proposition
avec une récurrence facile qui est initialisée par le cas elliptique du paragraphe
précédent.
X.9 Preuve de 7.4
Suivant Kottwitz–Rogawski, on peut choisir un corps de nombres F , des données,
G, ˜
G, ˜
M sur F et une place v 0 de F de sorte que F v0 F 0 et que, modulo cet
isomorphisme, les données G, ˜
G, ˜
M localisées en v 0 soient isomorphes à G 0 , ˜
G 0 , ˜
M 0 .
On peut de plus supposer que ˜
M (F ) soit dense dans ˜
M (F 0 ) et que A ˜
M0 soit le
localisé de A ˜
M . L’ensemble des δ 0 ∈ M
0 (F 0 ) ell qui correspondent à la classe de
conjugaison stable d’un élément de ˜
M (F ) est dense dans M
0 (F 0 )
rel
ell (on désigne
ainsi l’ensemble des éléments qui se transfèrent à ˜
M 0 (F 0 )). On note D cet ensemble.
On fixe δ 0 ∈ D et γ ∈ ˜
M (F ) dont la classe de conjugaison stable correspond à
δ 0 . On note ˜
T le tore tordu maximal de ˜
M contenant γ. Il est nécessairement
elliptique.
Fixons une extension galoisienne E 0 de F 0 finie que l’on précisera plus loin
telle que le tore localisé T v0 se déploie sur E 0 . On peut choisir une extension
galoisienne finie E
/F , une place v
0 de E
au-dessus de v 0 de sorte que T se déploie
sur E
et E
v
0
contienne E 0 via l’isomorphisme F 0 F v0 . Le groupe Gal(E
v
0
/F 0 )
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où la somme porte sur les représentations elliptiques τ de ˜
M dont l’induite est
une représentation discrète de ˜
G modulo conjugaison sous le normalisateur de ˜
M
dans G et où ι
(τ ) est le coefficient intervenant dans X.3.3.
On a aussi montré en X.3.3 que l’on avait aussi une décomposition pour la
variante stable de cette distribution bien que l’écriture soit moins jolie et surtout
moins explicite. Notons SI
G
(M
, f
1 , f
2 ) la distribution correspondant.
Proposition. Pour tout ˜
M espace de Levi de ˜
G et pour tout couple de fonctions
f 1 , f 2 ∈ I( ˜
G, ω), on a l’égalité :
I
˜
G ( ˜
M , ω, f 1 , f 2 ) =
M
i( ˜
M, M
)
G
i ˜
M ( ˜
G, G
)SI
G
(M
, f
G
1 , f
G
2 ),
où la somme sur M
est la somme sur les données endoscopiques elliptiques relevantes de ˜
M et où la somme sur G
, quand M
est fixé est la somme sur les
groupes endoscopiques elliptiques de ˜
G contenant M
comme sous groupe de Levi.
Les distributions sont des combinaisons linéaires de traces de représentations
induites à partir de représentations elliptiques de ˜
M pour le côté gauche et M
pour
le côté droit. Elles s’expriment donc en fonction des termes constants f 1, ˜
M , f 2, ˜
M
et de leurs transferts à M
. Il suffit donc de montrer cette égalité pour f 1 et f 2 des
fonctions ˜
M -cuspidales. Puisqu’on a démontré la stabilisation des intégrales orbitales pondérées, on sait stabiliser la formule des traces locale ; on a donc l’égalité
cherchée en sommant sur les espaces de Levi mais avec l’hypothèse sur f 1 et f 2 il
suffit de sommer sur les espaces de Levi contenant ˜
M et on obtient la proposition
avec une récurrence facile qui est initialisée par le cas elliptique du paragraphe
précédent.
X.9 Preuve de 7.4
Suivant Kottwitz–Rogawski, on peut choisir un corps de nombres F , des données,
G, ˜
G, ˜
M sur F et une place v 0 de F de sorte que F v0 F 0 et que, modulo cet
isomorphisme, les données G, ˜
G, ˜
M localisées en v 0 soient isomorphes à G 0 , ˜
G 0 , ˜
M 0 .
On peut de plus supposer que ˜
M (F ) soit dense dans ˜
M (F 0 ) et que A ˜
M0 soit le
localisé de A ˜
M . L’ensemble des δ 0 ∈ M
0 (F 0 ) ell qui correspondent à la classe de
conjugaison stable d’un élément de ˜
M (F ) est dense dans M
0 (F 0 )
rel
ell (on désigne
ainsi l’ensemble des éléments qui se transfèrent à ˜
M 0 (F 0 )). On note D cet ensemble.
On fixe δ 0 ∈ D et γ ∈ ˜
M (F ) dont la classe de conjugaison stable correspond à
δ 0 . On note ˜
T le tore tordu maximal de ˜
M contenant γ. Il est nécessairement
elliptique.
Fixons une extension galoisienne E 0 de F 0 finie que l’on précisera plus loin
telle que le tore localisé T v0 se déploie sur E 0 . On peut choisir une extension
galoisienne finie E
/F , une place v
0 de E
au-dessus de v 0 de sorte que T se déploie
sur E
et E
v
0
contienne E 0 via l’isomorphisme F 0 F v0 . Le groupe Gal(E
v
0
/F 0 )