1248
Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.8.6 Stabilisation géométrique
Le théorème de [VI] 5.9 est démontré :
I
˜
G
geo (ω, f ) =
G
i( ˜
G, G
)SI
G
geo (f
G
).
La démonstration a été donnée en [VI] 6.11 sous les hypothèses que l’on a vérifiées
en X.8.5 mais bien évidemment c’est aussi un corollaire de X.8.1.
X.8.7 Stabilisation de la formule des traces locale
La partie elliptique
Ici F est un corps local ; pour simplifier les formules on suppose que A ˜
G = 1, sinon
il faut intégrer sur A
∗
˜
G
. Pour toute donnée endoscopique G
de ˜
G, ω, on fixe une
base orthonormale des caractères elliptiques stables de G
, notée B
G
st . Pour τ une
représentation elliptique, on note i
(τ ) son produit scalaire elliptique, il est calculé
dans le (ii) du théorème de [81] 7.3.
Théorème. Pour tout couple de fonctions f 1 , f 2 ∈ I( ˜
G, ω), on a l’égalité
τ ∈Rep ell ( ˜
G)
i
(τ )tr τ (f 1 ) tr τ (f 2 ) =
G
i( ˜
G, G
)
φ G ∈B G
st
tr φ G (f G
1 ) tr φ
G
(f
G
2 ).
Ce théorème est une traduction spectrale de la proposition de [I] 4.17 : en effet
supposons d’abord que f 1 et f 2 soient des fonctions cuspidales. Alors le côté gauche
s’interprète comme le produit scalaire de f 1 et f 2 pour le produit scalaire elliptique
grâce au fait que la norme d’une représentation elliptique τ est précisément i
(τ )
par définition (cf. [81] 7.3). Cette égalité est donc une égalité de transfert entre
représentations elliptiques qui est vraie pour les fonctions cuspidales. Elle est donc
vraie pour toute fonction d’après le résultat principal de [XI] pour les corps padiques et [IV] 3.2 pour les corps archimédiens.
La partie discrète non elliptique
On rappelle que l’on a montré en X.3.3 qui s’appuie sur les paragraphes précédents,
que l’on pouvait décomposer I
˜
G (ω, f 1 , f 2 ) et les analogues stables pour les groupes
endoscopiques en une somme sur les espaces de Levi :
I
˜
G (ω, f 1 , f 2 ) =
˜
M
I
˜
G ( ˜
M , ω, f 1 , f 2 ),
où la somme porte sur les classes de conjugaison d’espace de Levi de ˜
G et où
I
˜
G ( ˜
M , ω, f 1 , f 2 ) =
τ
i
(τ )tr τ (f 1, ˜
M ) tr τ (f 2, ˜
M ),
Chapitre X. Stabilisation spectrale
X.8.6 Stabilisation géométrique
Le théorème de [VI] 5.9 est démontré :
I
˜
G
geo (ω, f ) =
G
i( ˜
G, G
)SI
G
geo (f
G
).
La démonstration a été donnée en [VI] 6.11 sous les hypothèses que l’on a vérifiées
en X.8.5 mais bien évidemment c’est aussi un corollaire de X.8.1.
X.8.7 Stabilisation de la formule des traces locale
La partie elliptique
Ici F est un corps local ; pour simplifier les formules on suppose que A ˜
G = 1, sinon
il faut intégrer sur A
∗
˜
G
. Pour toute donnée endoscopique G
de ˜
G, ω, on fixe une
base orthonormale des caractères elliptiques stables de G
, notée B
G
st . Pour τ une
représentation elliptique, on note i
(τ ) son produit scalaire elliptique, il est calculé
dans le (ii) du théorème de [81] 7.3.
Théorème. Pour tout couple de fonctions f 1 , f 2 ∈ I( ˜
G, ω), on a l’égalité
τ ∈Rep ell ( ˜
G)
i
(τ )tr τ (f 1 ) tr τ (f 2 ) =
G
i( ˜
G, G
)
φ G ∈B G
st
tr φ G (f G
1 ) tr φ
G
(f
G
2 ).
Ce théorème est une traduction spectrale de la proposition de [I] 4.17 : en effet
supposons d’abord que f 1 et f 2 soient des fonctions cuspidales. Alors le côté gauche
s’interprète comme le produit scalaire de f 1 et f 2 pour le produit scalaire elliptique
grâce au fait que la norme d’une représentation elliptique τ est précisément i
(τ )
par définition (cf. [81] 7.3). Cette égalité est donc une égalité de transfert entre
représentations elliptiques qui est vraie pour les fonctions cuspidales. Elle est donc
vraie pour toute fonction d’après le résultat principal de [XI] pour les corps padiques et [IV] 3.2 pour les corps archimédiens.
La partie discrète non elliptique
On rappelle que l’on a montré en X.3.3 qui s’appuie sur les paragraphes précédents,
que l’on pouvait décomposer I
˜
G (ω, f 1 , f 2 ) et les analogues stables pour les groupes
endoscopiques en une somme sur les espaces de Levi :
I
˜
G (ω, f 1 , f 2 ) =
˜
M
I
˜
G ( ˜
M , ω, f 1 , f 2 ),
où la somme porte sur les classes de conjugaison d’espace de Levi de ˜
G et où
I
˜
G ( ˜
M , ω, f 1 , f 2 ) =
τ
i
(τ )tr τ (f 1, ˜
M ) tr τ (f 2, ˜
M ),