X.8. Stabilisation de la formule des traces
1247
de GL(m i , A F ) pour i = 1, 2. Avec la remarque précédente le membre de droite
de (1) est de longueur finie, son transfert est donc certainement de longueur finie.
Question. Soit G un groupe réductif défini sur F , et V, c
V comme précédemment.
Soit ν un caractère infinitésimal. Il est naturel de se demander si π
G
disc,ν (c
V ) est de
longueur finie. Il est même vraisemblable que pour c
V fixé, la somme ⊕ ν π
G
disc,ν (c
V )
est de longueur finie
X.8.5 Vérification de toutes les hypothèses de récurrence,
récapitulatif
Pour arriver à la stabilisation de la formule des traces, nous avons fait un certain
nombre d’hypothèses de récurrence et il faut donc les vérifier pour ˜
G.
On avait récapitulé les hypothèses en X.7.1 ; il y a des hypothèses locales
géométriques. Pour ˜
G leur vérification est faite en X.7.7. Disons tout de suite que
nous n’avions pas d’hypothèses locales spectrales car on les avait résolues en X.4.5.
Et il y a les hypothèses de récurrence globales ; l’hypothèse spectrale de récurrence est le théorème X.8 que l’on vient de démontrer. Il reste l’hypothèse
géométrique c’est-à-dire que pour tout O une classe de conjugaison stable semisimple de ˜
G(F V ) (notations de [VI] 5.3 et 5.4)
(1)
A
˜
G (O, V ) = A
˜
G,E (O, V ).
Des réductions ont été faites en [VII] 3.5 ramenant la preuve de cette assertion
aux éléments exceptionnels (cf. X.3.4), cette réduction a servi pour la preuve de
la stabilisation spectrale.
La distribution f V → I
˜
G (A
˜
G (O, V ), f V 1 ˜
K V ) est une combinaison linéaire
d’intégrales orbitales d’après le (ii) de la proposition de 2.3 dans [VI] associées à des
éléments uγ où u est un élément unipotent du centralisateur de γ et où γ est un élément de O. Il en est de même de la distribution construite avec A
˜
G,E (O, V ) par la
définition de [VI] 5.4 (cf. le début de ce paragraphe). Rappelons que quand γ, u varient avec les propriétés précédentes, ces intégrales orbitales sont des distributions
linéairement indépendantes. Or on sait déjà que I
˜
G (ω, f V 1 ˜
K V )−I
˜
G,E (f V 1 ˜
K V ) = 0
pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) puisque l’on a démontré la stabilisation spectrale (en
X.5.11 et X.8.1). Avec les réductions déjà connues, ceci est la somme des distributions
I
˜
G (A
˜
G (O, V ), f V 1 ˜
K V ) − I
˜
G (A
˜
G,E (O, V ), f V 1 ˜
K V )
quand O varie (cf. [VI] 6.11). Ainsi chacune de ces distributions doit être nulle par
indépendance linéaire. Cela termine la preuve.
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de GL(m i , A F ) pour i = 1, 2. Avec la remarque précédente le membre de droite
de (1) est de longueur finie, son transfert est donc certainement de longueur finie.
Question. Soit G un groupe réductif défini sur F , et V, c
V comme précédemment.
Soit ν un caractère infinitésimal. Il est naturel de se demander si π
G
disc,ν (c
V ) est de
longueur finie. Il est même vraisemblable que pour c
V fixé, la somme ⊕ ν π
G
disc,ν (c
V )
est de longueur finie
X.8.5 Vérification de toutes les hypothèses de récurrence,
récapitulatif
Pour arriver à la stabilisation de la formule des traces, nous avons fait un certain
nombre d’hypothèses de récurrence et il faut donc les vérifier pour ˜
G.
On avait récapitulé les hypothèses en X.7.1 ; il y a des hypothèses locales
géométriques. Pour ˜
G leur vérification est faite en X.7.7. Disons tout de suite que
nous n’avions pas d’hypothèses locales spectrales car on les avait résolues en X.4.5.
Et il y a les hypothèses de récurrence globales ; l’hypothèse spectrale de récurrence est le théorème X.8 que l’on vient de démontrer. Il reste l’hypothèse
géométrique c’est-à-dire que pour tout O une classe de conjugaison stable semisimple de ˜
G(F V ) (notations de [VI] 5.3 et 5.4)
(1)
A
˜
G (O, V ) = A
˜
G,E (O, V ).
Des réductions ont été faites en [VII] 3.5 ramenant la preuve de cette assertion
aux éléments exceptionnels (cf. X.3.4), cette réduction a servi pour la preuve de
la stabilisation spectrale.
La distribution f V → I
˜
G (A
˜
G (O, V ), f V 1 ˜
K V ) est une combinaison linéaire
d’intégrales orbitales d’après le (ii) de la proposition de 2.3 dans [VI] associées à des
éléments uγ où u est un élément unipotent du centralisateur de γ et où γ est un élément de O. Il en est de même de la distribution construite avec A
˜
G,E (O, V ) par la
définition de [VI] 5.4 (cf. le début de ce paragraphe). Rappelons que quand γ, u varient avec les propriétés précédentes, ces intégrales orbitales sont des distributions
linéairement indépendantes. Or on sait déjà que I
˜
G (ω, f V 1 ˜
K V )−I
˜
G,E (f V 1 ˜
K V ) = 0
pour tout f V ∈ I( ˜
G(F V ), ω) puisque l’on a démontré la stabilisation spectrale (en
X.5.11 et X.8.1). Avec les réductions déjà connues, ceci est la somme des distributions
I
˜
G (A
˜
G (O, V ), f V 1 ˜
K V ) − I
˜
G (A
˜
G,E (O, V ), f V 1 ˜
K V )
quand O varie (cf. [VI] 6.11). Ainsi chacune de ces distributions doit être nulle par
indépendance linéaire. Cela termine la preuve.