1246
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Cela résulte évidemment des résultats de [23]. Arthur montre entre autre
que toute composante locale d’une des composantes irréductibles d’une des représentations π
G
disc,ν (c
G
,V ) en une place v ∈ V est nécessairement dans un paquet
de représentations qui ne dépend que de la composante locale en la place v de
π
˜
G
disc,ν (c
V ) (qui est une représentation irréductible) et qui est caractérisé par des
relations de transfert (cf. [23]). En particulier il n’y a qu’un nombre fini de possibilités. L’ensemble des représentations automorphes de carré intégrable de G
(A F )
qui dans V sont l’une des représentations déterminées et qui sont non ramifiées
hors de V sont en nombre fini (on rappelle que V contient les places archimédiennes et que le caractère infinitésimal est donc fixé dans un ensemble fini). D’où
la finitude ; la toute petite difficulté qu’il a fallu contourner est qu’il y a en général un nombre infini de c
G
,V qui se transfèrent en c
V si G
est un produit de
groupes classiques l’un étant un groupe special orthogonal pair. Et on vient de voir
que seul un nombre fini de c
G
,V intervient vraiment dans l’ensemble des formes
automorphes de carré intégrable, ceci est bien sûr dans [23].
Remarque. La représentation ⊕ c G ,V →c V π
G
st (c
G
,V ) est aussi de longueur finie.
C’est la même démonstration.
Le même résultat de finitude est vrai d’après [64] si E/F est une extension
quadratique, G = GL(n, E) et ˜
G est défini par l’automorphisme g →
t g
−1 où g
est la conjugaison induite par l’extension E de F .
Soit G une forme intérieure d’un groupe classique, c’est-à-dire que le groupe
quasi-déployé correspondant est un groupe spécial orthogonal, symplectique ou
unitaire. Les résultats d’Arthur seront très certainement généralisés à terme à un
tel groupe mais on peut déjà avoir une description qualitative des représentations
π
G
disc,ν (c
V ).
Remarque. Les représentations π
G
disc (c
V ) sont de longueur finie.
On applique (1) de X.8.1 avec ˜
G = G. Il n’y a qu’un nombre fini de termes
dans le membre de droite de (1) : en effet il n’y a qu’un nombre fini de données endoscopiques elliptiques non ramifiées hors de V . Fixons l’un de ces groupes, G
et
c
G
,V un système de caractères de Hecke qui par transfert non ramifié s’envoie sur
c
V et tel que pour au moins un caractère infinitésimal ν
, π
G
disc,ν (c
G
,V ) ne soit pas
nul. Alors G
est un produit de groupes classiques et il existe un entier m = m 1 +m 2
(dépendant de G
) et une représentation automorphe irréductible de GL(m 1 , A F )×
GL(m 2 , A F ) qui est une induite de représentations automorphes de carré intégrable et qui en toutes places hors de V a pour caractères de Hecke le transfert
de c
G
,V . Ainsi la représentation de GL(m 1 + m 2 , A F ) obtenue par induction (ou
série d’Eisenstein) est une induite de représentations de carré intégrable avec hors
de V un système de caractères de Hecke qui s’obtient directement par transfert
non ramifié à partir de c
V . Ainsi il n’y a qu’un nombre fini de possibilités pour
cette représentation de GL(m 1 + m 2 , A F ) et donc aussi pour les représentations
Chapitre X. Stabilisation spectrale
Cela résulte évidemment des résultats de [23]. Arthur montre entre autre
que toute composante locale d’une des composantes irréductibles d’une des représentations π
G
disc,ν (c
G
,V ) en une place v ∈ V est nécessairement dans un paquet
de représentations qui ne dépend que de la composante locale en la place v de
π
˜
G
disc,ν (c
V ) (qui est une représentation irréductible) et qui est caractérisé par des
relations de transfert (cf. [23]). En particulier il n’y a qu’un nombre fini de possibilités. L’ensemble des représentations automorphes de carré intégrable de G
(A F )
qui dans V sont l’une des représentations déterminées et qui sont non ramifiées
hors de V sont en nombre fini (on rappelle que V contient les places archimédiennes et que le caractère infinitésimal est donc fixé dans un ensemble fini). D’où
la finitude ; la toute petite difficulté qu’il a fallu contourner est qu’il y a en général un nombre infini de c
G
,V qui se transfèrent en c
V si G
est un produit de
groupes classiques l’un étant un groupe special orthogonal pair. Et on vient de voir
que seul un nombre fini de c
G
,V intervient vraiment dans l’ensemble des formes
automorphes de carré intégrable, ceci est bien sûr dans [23].
Remarque. La représentation ⊕ c G ,V →c V π
G
st (c
G
,V ) est aussi de longueur finie.
C’est la même démonstration.
Le même résultat de finitude est vrai d’après [64] si E/F est une extension
quadratique, G = GL(n, E) et ˜
G est défini par l’automorphisme g →
t g
−1 où g
est la conjugaison induite par l’extension E de F .
Soit G une forme intérieure d’un groupe classique, c’est-à-dire que le groupe
quasi-déployé correspondant est un groupe spécial orthogonal, symplectique ou
unitaire. Les résultats d’Arthur seront très certainement généralisés à terme à un
tel groupe mais on peut déjà avoir une description qualitative des représentations
π
G
disc,ν (c
V ).
Remarque. Les représentations π
G
disc (c
V ) sont de longueur finie.
On applique (1) de X.8.1 avec ˜
G = G. Il n’y a qu’un nombre fini de termes
dans le membre de droite de (1) : en effet il n’y a qu’un nombre fini de données endoscopiques elliptiques non ramifiées hors de V . Fixons l’un de ces groupes, G
et
c
G
,V un système de caractères de Hecke qui par transfert non ramifié s’envoie sur
c
V et tel que pour au moins un caractère infinitésimal ν
, π
G
disc,ν (c
G
,V ) ne soit pas
nul. Alors G
est un produit de groupes classiques et il existe un entier m = m 1 +m 2
(dépendant de G
) et une représentation automorphe irréductible de GL(m 1 , A F )×
GL(m 2 , A F ) qui est une induite de représentations automorphes de carré intégrable et qui en toutes places hors de V a pour caractères de Hecke le transfert
de c
G
,V . Ainsi la représentation de GL(m 1 + m 2 , A F ) obtenue par induction (ou
série d’Eisenstein) est une induite de représentations de carré intégrable avec hors
de V un système de caractères de Hecke qui s’obtient directement par transfert
non ramifié à partir de c
V . Ainsi il n’y a qu’un nombre fini de possibilités pour
cette représentation de GL(m 1 + m 2 , A F ) et donc aussi pour les représentations