X.8. Stabilisation de la formule des traces
1245
Proposition. Avec les notations du paragraphe précédent, la distribution
tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V )
est nulle sauf si ξ correspond au caractère central de la représentation irréductible
de π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V ). Et dans ce dernier cas, tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V ) = tr π
˜
G
disc,ν (c
V ).
Corollaire. On note ω (c V ) le caractère central de π
˜
G
disc,ν (c
V ) et la représentation
π
˜
G
disc,ν (c
V ) est un transfert de
(1)
G ;ω G
ω (c V )
i( ˜
G, G
)π
G
ν,st (c
V ).
Cela n’est qu’un exemple car [23] donne beaucoup plus de précisions. Toutefois, par exemple si n est impair et si π
˜
G
disc,ν (c
V ) est de carré intégrable (par
exemple cuspidale) cela permet de démontrer assez vite (uniquement avec le paragraphe 3 de [23]) que la somme à droite n’a qu’un terme. Si n est pair, sous les
mêmes hypothèses pour π
˜
G
disc,ν (c V ), si le caractère central de cette représentation
est non trivial, ce caractère central détermine une extension quadratique de F et
dans la somme on ne trouve encore qu’une donnée endoscopique elliptique, celle
correspondant au groupe orthogonal pair quasidéployé non déployé qui se déploie
dans l’extension de F à E. Si le caractère central est trivial, on ne peut pas distinguer par cette méthode une donnée endoscopique avec le groupe orthogonal impair
SO(n + 1) de la donnée endoscopique avec le groupe orthogonal pair déployé et on
n’évite pas l’utilisation des fonctions L partielles et les derniers chapitres de [23].
X.8.4 Une remarque sur la finitude de π disc,ν (c
V
) et
son calcul pour les groupes classiques
Dans le cas où G = GL(n, F ) et ˜
G est l’espace tordu considéré en X.8.3, Arthur a
démontré en [23] en toute généralité que pour G
n’importe laquelle des données
endoscopiques elliptiques de ˜
G, les représentations π
G
disc,ν (c
G
,V ) sont de longueur
finie (ici l’indice st est remplacé par disc). On peut renforcer cette propriété de
finitude en
Remarque. Soit G
une donnée endoscopique elliptique de ˜
G. Alors pour tout
ν, c
V comme ci-dessus, la représentation automorphe de G
(A F ),
⊕ ν →ν,c G ,V →c V π
G
disc,ν (c
G
,V )
est de longueur finie. Ceci est même vrai pour c
V fixé et en n’imposant rien au
caractère infinitésimal. C’est-à-dire avec des notations évidentes : la représentation
⊕ c G ,V →c V π
G
disc (c
G
,V ) est de longueur finie.
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Proposition. Avec les notations du paragraphe précédent, la distribution
tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V )
est nulle sauf si ξ correspond au caractère central de la représentation irréductible
de π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V ). Et dans ce dernier cas, tr π
˜
G,ξ
disc,ν (c
V ) = tr π
˜
G
disc,ν (c
V ).
Corollaire. On note ω (c V ) le caractère central de π
˜
G
disc,ν (c
V ) et la représentation
π
˜
G
disc,ν (c
V ) est un transfert de
(1)
G ;ω G
ω (c V )
i( ˜
G, G
)π
G
ν,st (c
V ).
Cela n’est qu’un exemple car [23] donne beaucoup plus de précisions. Toutefois, par exemple si n est impair et si π
˜
G
disc,ν (c
V ) est de carré intégrable (par
exemple cuspidale) cela permet de démontrer assez vite (uniquement avec le paragraphe 3 de [23]) que la somme à droite n’a qu’un terme. Si n est pair, sous les
mêmes hypothèses pour π
˜
G
disc,ν (c V ), si le caractère central de cette représentation
est non trivial, ce caractère central détermine une extension quadratique de F et
dans la somme on ne trouve encore qu’une donnée endoscopique elliptique, celle
correspondant au groupe orthogonal pair quasidéployé non déployé qui se déploie
dans l’extension de F à E. Si le caractère central est trivial, on ne peut pas distinguer par cette méthode une donnée endoscopique avec le groupe orthogonal impair
SO(n + 1) de la donnée endoscopique avec le groupe orthogonal pair déployé et on
n’évite pas l’utilisation des fonctions L partielles et les derniers chapitres de [23].
X.8.4 Une remarque sur la finitude de π disc,ν (c
V
) et
son calcul pour les groupes classiques
Dans le cas où G = GL(n, F ) et ˜
G est l’espace tordu considéré en X.8.3, Arthur a
démontré en [23] en toute généralité que pour G
n’importe laquelle des données
endoscopiques elliptiques de ˜
G, les représentations π
G
disc,ν (c
G
,V ) sont de longueur
finie (ici l’indice st est remplacé par disc). On peut renforcer cette propriété de
finitude en
Remarque. Soit G
une donnée endoscopique elliptique de ˜
G. Alors pour tout
ν, c
V comme ci-dessus, la représentation automorphe de G
(A F ),
⊕ ν →ν,c G ,V →c V π
G
disc,ν (c
G
,V )
est de longueur finie. Ceci est même vrai pour c
V fixé et en n’imposant rien au
caractère infinitésimal. C’est-à-dire avec des notations évidentes : la représentation
⊕ c G ,V →c V π
G
disc (c
G
,V ) est de longueur finie.